Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21656 / 9305
↖ ↑ ↗
← N 82.276109°
W120.520020°		 ← 41.05 m → N 82.276109°
W120.517273°		 →
↑
41.03 m
↓
↑
41.03 m
↓
N 82.275740°
W120.520020°		 ← 41.05 m →
1 684 m²		 N 82.275740°
W120.517273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165225982666016 y=0.0709953308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165225982666016 × 217)
    floor (0.165225982666016 × 131072)
    floor (21656.5)     		tx = 21656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0709953308105469 × 217)
    floor (0.0709953308105469 × 131072)
    floor (9305.5)     		ty = 9305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21656 / 9305 ti = "17/21656/9305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21656/9305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21656 ÷ 217
    21656 ÷ 131072     		x = 0.16522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9305 ÷ 217
    9305 ÷ 131072     		y = 0.0709915161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.6695556640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10347116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0709915161132812 × 2 - 1) × π
    0.858016967773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.69553980253538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10347116} λ = -2.10347116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69553980253538))-π/2
    2×atan(14.8135129673027)-π/2
    2×1.50339265792038-π/2
    3.00678531584077-1.57079632675     		φ = 1.43598899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10347116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.520020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43598899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.276109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21656 KachelY 9305 -2.10347116 1.43598899 -120.520020 82.276109
    Oben rechts KachelX + 1 21657 KachelY 9305 -2.10342322 1.43598899 -120.517273 82.276109
    Unten links KachelX 21656 KachelY + 1 9306 -2.10347116 1.43598255 -120.520020 82.275740
    Unten rechts KachelX + 1 21657 KachelY + 1 9306 -2.10342322 1.43598255 -120.517273 82.275740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43598899-1.43598255) × R
    6.43999999994094e-06 × 6371000     		dl = 41.0292399996237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43598899-1.43598255) × R
    6.43999999994094e-06 × 6371000     		dr = 41.0292399996237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10347116--2.10342322) × cos(1.43598899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134399398284182 × 6371000     		do = 41.0490356764741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10347116--2.10342322) × cos(1.43598255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134405779852842 × 6371000     		du = 41.0509847718046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43598899)-sin(1.43598255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134399398284182-0.134405779852842)×R²
    abs(-2.10342322--2.10347116)×6.38156866047956e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.38156866047956e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.38156866047956e-06×40589641000000     		ar = 1684.25072157509m²