Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21655 / 9307
↖ ↑ ↗
← N 82.275370°
W120.522766°		 ← 41.04 m → N 82.275370°
W120.520020°		 →
↑
41.03 m
↓
↑
41.03 m
↓
N 82.275001°
W120.522766°		 ← 41.05 m →
1 684 m²		 N 82.275001°
W120.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165218353271484 y=0.0710105895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165218353271484 × 217)
    floor (0.165218353271484 × 131072)
    floor (21655.5)     		tx = 21655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0710105895996094 × 217)
    floor (0.0710105895996094 × 131072)
    floor (9307.5)     		ty = 9307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21655 / 9307 ti = "17/21655/9307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21655/9307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21655 ÷ 217
    21655 ÷ 131072     		x = 0.165214538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9307 ÷ 217
    9307 ÷ 131072     		y = 0.0710067749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165214538574219 × 2 - 1) × π
    -0.669570922851562 × 3.1415926535     		Λ = -2.10351909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0710067749023438 × 2 - 1) × π
    0.857986450195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.69544392873614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10351909} λ = -2.10351909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69544392873614))-π/2
    2×atan(14.8120928076136)-π/2
    2×1.50338621492382-π/2
    3.00677242984765-1.57079632675     		φ = 1.43597610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10351909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.522766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43597610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.275370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21655 KachelY 9307 -2.10351909 1.43597610 -120.522766 82.275370
    Oben rechts KachelX + 1 21656 KachelY 9307 -2.10347116 1.43597610 -120.520020 82.275370
    Unten links KachelX 21655 KachelY + 1 9308 -2.10351909 1.43596966 -120.522766 82.275001
    Unten rechts KachelX + 1 21656 KachelY + 1 9308 -2.10347116 1.43596966 -120.520020 82.275001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43597610-1.43596966) × R
    6.43999999994094e-06 × 6371000     		dl = 41.0292399996237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43597610-1.43596966) × R
    6.43999999994094e-06 × 6371000     		dr = 41.0292399996237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10351909--2.10347116) × cos(1.43597610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.134412171325184 × 6371000     		do = 41.0443734925911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10351909--2.10347116) × cos(1.43596966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.134418552882687 × 6371000     		du = 41.0463221779447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43597610)-sin(1.43596966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134412171325184-0.134418552882687)×R²
    abs(-2.10347116--2.10351909)×6.38155750296021e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.38155750296021e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.38155750296021e-06×40589641000000     		ar = 1684.0594272314m²