Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21654 / 8824
↖ ↑ ↗
← N 82.451651°
W120.525513°		 ← 40.12 m → N 82.451651°
W120.522766°		 →
↑
40.07 m
↓
↑
40.07 m
↓
N 82.451290°
W120.525513°		 ← 40.12 m →
1 608 m²		 N 82.451290°
W120.522766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165210723876953 y=0.0673255920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165210723876953 × 217)
    floor (0.165210723876953 × 131072)
    floor (21654.5)     		tx = 21654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0673255920410156 × 217)
    floor (0.0673255920410156 × 131072)
    floor (8824.5)     		ty = 8824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21654 / 8824 ti = "17/21654/8824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21654/8824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21654 ÷ 217
    21654 ÷ 131072     		x = 0.165206909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8824 ÷ 217
    8824 ÷ 131072     		y = 0.06732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165206909179688 × 2 - 1) × π
    -0.669586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10356703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06732177734375 × 2 - 1) × π
    0.8653564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.71859745125262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10356703} λ = -2.10356703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71859745125262))-π/2
    2×atan(15.1590460269587)-π/2
    2×1.50492455516591-π/2
    3.00984911033183-1.57079632675     		φ = 1.43905278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10356703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.525513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43905278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.451651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21654 KachelY 8824 -2.10356703 1.43905278 -120.525513 82.451651
    Oben rechts KachelX + 1 21655 KachelY 8824 -2.10351909 1.43905278 -120.522766 82.451651
    Unten links KachelX 21654 KachelY + 1 8825 -2.10356703 1.43904649 -120.525513 82.451290
    Unten rechts KachelX + 1 21655 KachelY + 1 8825 -2.10351909 1.43904649 -120.522766 82.451290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43905278-1.43904649) × R
    6.28999999996438e-06 × 6371000     		dl = 40.0735899997731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43905278-1.43904649) × R
    6.28999999996438e-06 × 6371000     		dr = 40.0735899997731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10356703--2.10351909) × cos(1.43905278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.131362779264535 × 6371000     		do = 40.1215740653011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10356703--2.10351909) × cos(1.43904649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.131369014755083 × 6371000     		du = 40.1234785446158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43905278)-sin(1.43904649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131362779264535-0.131369014755083)×R²
    abs(-2.10351909--2.10356703)×6.23549054759587e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.23549054759587e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.23549054759587e-06×40589641000000     		ar = 1607.85366898086m²