Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21653 / 9309
↖ ↑ ↗
← N 82.274632°
W120.528260°		 ← 41.06 m → N 82.274632°
W120.525513°		 →
↑
41.09 m
↓
↑
41.09 m
↓
N 82.274262°
W120.528260°		 ← 41.06 m →
1 687 m²		 N 82.274262°
W120.525513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165203094482422 y=0.0710258483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165203094482422 × 217)
    floor (0.165203094482422 × 131072)
    floor (21653.5)     		tx = 21653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0710258483886719 × 217)
    floor (0.0710258483886719 × 131072)
    floor (9309.5)     		ty = 9309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21653 / 9309 ti = "17/21653/9309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21653/9309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21653 ÷ 217
    21653 ÷ 131072     		x = 0.165199279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9309 ÷ 217
    9309 ÷ 131072     		y = 0.0710220336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165199279785156 × 2 - 1) × π
    -0.669601440429688 × 3.1415926535     		Λ = -2.10361497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0710220336914062 × 2 - 1) × π
    0.857955932617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.6953480549369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10361497} λ = -2.10361497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6953480549369))-π/2
    2×atan(14.810672784074)-π/2
    2×1.50337977131513-π/2
    3.00675954263025-1.57079632675     		φ = 1.43596322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10361497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.528260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43596322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.274632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21653 KachelY 9309 -2.10361497 1.43596322 -120.528260 82.274632
    Oben rechts KachelX + 1 21654 KachelY 9309 -2.10356703 1.43596322 -120.525513 82.274632
    Unten links KachelX 21653 KachelY + 1 9310 -2.10361497 1.43595677 -120.528260 82.274262
    Unten rechts KachelX + 1 21654 KachelY + 1 9310 -2.10356703 1.43595677 -120.525513 82.274262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43596322-1.43595677) × R
    6.45000000010221e-06 × 6371000     		dl = 41.0929500006512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43596322-1.43595677) × R
    6.45000000010221e-06 × 6371000     		dr = 41.0929500006512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10361497--2.10356703) × cos(1.43596322) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.134424934434615 × 6371000     		do = 41.0568350744972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10361497--2.10356703) × cos(1.43595677) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.134431325890197 × 6371000     		du = 41.0587871895481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43596322)-sin(1.43595677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134424934434615-0.134431325890197)×R²
    abs(-2.10356703--2.10361497)×6.39145558237186e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.39145558237186e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.39145558237186e-06×40589641000000     		ar = 1687.18657993452m²