Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2164 / 6380
↖ ↑ ↗
← N 36.949892°
W132.451172°		 ← 1 952.57 m → N 36.949892°
W132.429199°		 →
↑
1 952.78 m
↓
↑
1 952.78 m
↓
N 36.932330°
W132.451172°		 ← 1 953.02 m →
3 813 378 m²		 N 36.932330°
W132.429199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132110595703125 y=0.389434814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132110595703125 × 214)
    floor (0.132110595703125 × 16384)
    floor (2164.5)     		tx = 2164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.389434814453125 × 214)
    floor (0.389434814453125 × 16384)
    floor (6380.5)     		ty = 6380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2164 / 6380 ti = "14/2164/6380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2164/6380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2164 ÷ 214
    2164 ÷ 16384     		x = 0.132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6380 ÷ 214
    6380 ÷ 16384     		y = 0.389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.73583984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.31170905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.389404296875 × 2 - 1) × π
    0.22119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.694893296892334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31170905} λ = -2.31170905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.694893296892334))-π/2
    2×atan(2.00349528336239)-π/2
    2×1.10784679835726-π/2
    2.21569359671453-1.57079632675     		φ = 0.64489727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31170905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.451172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.64489727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.949892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2164 KachelY 6380 -2.31170905 0.64489727 -132.451172 36.949892
    Oben rechts KachelX + 1 2165 KachelY 6380 -2.31132555 0.64489727 -132.429199 36.949892
    Unten links KachelX 2164 KachelY + 1 6381 -2.31170905 0.64459076 -132.451172 36.932330
    Unten rechts KachelX + 1 2165 KachelY + 1 6381 -2.31132555 0.64459076 -132.429199 36.932330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.64489727-0.64459076) × R
    0.000306509999999927 × 6371000     		dl = 1952.77520999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.64489727-0.64459076) × R
    0.000306509999999927 × 6371000     		dr = 1952.77520999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31170905--2.31132555) × cos(0.64489727) × R
    0.000383500000000314 × 0.7991615238418 × 6371000     		do = 1952.57416923151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31170905--2.31132555) × cos(0.64459076) × R
    0.000383500000000314 × 0.799345734469495 × 6371000     		du = 1953.02424709763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.64489727)-sin(0.64459076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7991615238418-0.799345734469495)×R²
    abs(-2.31132555--2.31170905)×0.000184210627695136×R²
    0.000383500000000314×0.000184210627695136×6371000²
    0.000383500000000314×0.000184210627695136×40589641000000     		ar = 3813377.91366655m²