Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21639 / 14471
↖ ↑ ↗
← N 80.115264°
W120.566711°		 ← 52.42 m → N 80.115264°
W120.563965°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.114793°
W120.566711°		 ← 52.42 m →
2 749 m²		 N 80.114793°
W120.563965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165096282958984 y=0.110408782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165096282958984 × 217)
    floor (0.165096282958984 × 131072)
    floor (21639.5)     		tx = 21639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110408782958984 × 217)
    floor (0.110408782958984 × 131072)
    floor (14471.5)     		ty = 14471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21639 / 14471 ti = "17/21639/14471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21639/14471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21639 ÷ 217
    21639 ÷ 131072     		x = 0.165092468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14471 ÷ 217
    14471 ÷ 131072     		y = 0.110404968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165092468261719 × 2 - 1) × π
    -0.669815063476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.10428608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110404968261719 × 2 - 1) × π
    0.779190063476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.44789777909817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10428608} λ = -2.10428608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44789777909817))-π/2
    2×atan(11.5640110429785)-π/2
    2×1.48453573189392-π/2
    2.96907146378783-1.57079632675     		φ = 1.39827514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10428608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.566711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39827514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.115264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21639 KachelY 14471 -2.10428608 1.39827514 -120.566711 80.115264
    Oben rechts KachelX + 1 21640 KachelY 14471 -2.10423815 1.39827514 -120.563965 80.115264
    Unten links KachelX 21639 KachelY + 1 14472 -2.10428608 1.39826691 -120.566711 80.114793
    Unten rechts KachelX + 1 21640 KachelY + 1 14472 -2.10423815 1.39826691 -120.563965 80.114793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39827514-1.39826691) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dl = 52.4333299996334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39827514-1.39826691) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dr = 52.4333299996334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10428608--2.10423815) × cos(1.39827514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171666652040538 × 6371000     		do = 52.4204773504344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10428608--2.10423815) × cos(1.39826691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171674759861153 × 6371000     		du = 52.4229531709964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39827514)-sin(1.39826691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171666652040538-0.171674759861153)×R²
    abs(-2.10423815--2.10428608)×8.10782061536064e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.10782061536064e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.10782061536064e-06×40589641000000     		ar = 2748.64509538969m²