Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21633 / 11145
↖ ↑ ↗
← N 81.566343°
W120.583191°		 ← 44.79 m → N 81.566343°
W120.580445°		 →
↑
44.79 m
↓
↑
44.79 m
↓
N 81.565941°
W120.583191°		 ← 44.79 m →
2 006 m²		 N 81.565941°
W120.580445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165050506591797 y=0.0850334167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165050506591797 × 217)
    floor (0.165050506591797 × 131072)
    floor (21633.5)     		tx = 21633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0850334167480469 × 217)
    floor (0.0850334167480469 × 131072)
    floor (11145.5)     		ty = 11145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21633 / 11145 ti = "17/21633/11145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21633/11145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21633 ÷ 217
    21633 ÷ 131072     		x = 0.165046691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11145 ÷ 217
    11145 ÷ 131072     		y = 0.0850296020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165046691894531 × 2 - 1) × π
    -0.669906616210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.10457370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0850296020507812 × 2 - 1) × π
    0.829940795898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.60733590723447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10457370} λ = -2.10457370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60733590723447))-π/2
    2×atan(13.5628699348972)-π/2
    2×1.4971987902849-π/2
    2.99439758056981-1.57079632675     		φ = 1.42360125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10457370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.583191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42360125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.566343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21633 KachelY 11145 -2.10457370 1.42360125 -120.583191 81.566343
    Oben rechts KachelX + 1 21634 KachelY 11145 -2.10452577 1.42360125 -120.580445 81.566343
    Unten links KachelX 21633 KachelY + 1 11146 -2.10457370 1.42359422 -120.583191 81.565941
    Unten rechts KachelX + 1 21634 KachelY + 1 11146 -2.10452577 1.42359422 -120.580445 81.565941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42360125-1.42359422) × R
    7.02999999990794e-06 × 6371000     		dl = 44.7881299994135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42360125-1.42359422) × R
    7.02999999990794e-06 × 6371000     		dr = 44.7881299994135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10457370--2.10452577) × cos(1.42360125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146664121310354 × 6371000     		do = 44.7856538115233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10457370--2.10452577) × cos(1.42359422) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146671075286772 × 6371000     		du = 44.7877772918789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42360125)-sin(1.42359422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146664121310354-0.146671075286772)×R²
    abs(-2.10452577--2.10457370)×6.95397641797824e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.95397641797824e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.95397641797824e-06×40589641000000     		ar = 2005.9132383834m²