Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21631 / 12159
↖ ↑ ↗
← N 81.147903°
W120.588684°		 ← 47 m → N 81.147903°
W120.585937°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
N 81.147481°
W120.588684°		 ← 47 m →
2 207 m²		 N 81.147481°
W120.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165035247802734 y=0.0927696228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165035247802734 × 217)
    floor (0.165035247802734 × 131072)
    floor (21631.5)     		tx = 21631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0927696228027344 × 217)
    floor (0.0927696228027344 × 131072)
    floor (12159.5)     		ty = 12159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21631 / 12159 ti = "17/21631/12159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21631/12159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21631 ÷ 217
    21631 ÷ 131072     		x = 0.165031433105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12159 ÷ 217
    12159 ÷ 131072     		y = 0.0927658081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165031433105469 × 2 - 1) × π
    -0.669937133789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.10466958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927658081054688 × 2 - 1) × π
    0.814468383789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.55872789101974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10466958} λ = -2.10466958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55872789101974))-π/2
    2×atan(12.9193720084981)-π/2
    2×1.49354721084833-π/2
    2.98709442169665-1.57079632675     		φ = 1.41629809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10466958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.588684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41629809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.147903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21631 KachelY 12159 -2.10466958 1.41629809 -120.588684 81.147903
    Oben rechts KachelX + 1 21632 KachelY 12159 -2.10462164 1.41629809 -120.585937 81.147903
    Unten links KachelX 21631 KachelY + 1 12160 -2.10466958 1.41629072 -120.588684 81.147481
    Unten rechts KachelX + 1 21632 KachelY + 1 12160 -2.10462164 1.41629072 -120.585937 81.147481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41629809-1.41629072) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dl = 46.9542700003953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41629809-1.41629072) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dr = 46.9542700003953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10466958--2.10462164) × cos(1.41629809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153884332045731 × 6371000     		do = 47.0002359894424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10466958--2.10462164) × cos(1.41629072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153891614256514 × 6371000     		du = 47.0024601640595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41629809)-sin(1.41629072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153884332045731-0.153891614256514)×R²
    abs(-2.10462164--2.10466958)×7.2822107826942e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.2822107826942e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.2822107826942e-06×40589641000000     		ar = 2206.91398789871m²