Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21628 / 11140
↖ ↑ ↗
← N 81.568357°
W120.596924°		 ← 44.78 m → N 81.568357°
W120.594177°		 →
↑
44.79 m
↓
↑
44.79 m
↓
N 81.567954°
W120.596924°		 ← 44.79 m →
2 006 m²		 N 81.567954°
W120.594177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165012359619141 y=0.0849952697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165012359619141 × 217)
    floor (0.165012359619141 × 131072)
    floor (21628.5)     		tx = 21628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0849952697753906 × 217)
    floor (0.0849952697753906 × 131072)
    floor (11140.5)     		ty = 11140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21628 / 11140 ti = "17/21628/11140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21628/11140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21628 ÷ 217
    21628 ÷ 131072     		x = 0.165008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11140 ÷ 217
    11140 ÷ 131072     		y = 0.084991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.66998291015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10481339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084991455078125 × 2 - 1) × π
    0.83001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60757559173257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10481339} λ = -2.10481339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60757559173257))-π/2
    2×atan(13.5661211341859)-π/2
    2×1.49721636475913-π/2
    2.99443272951827-1.57079632675     		φ = 1.42363640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10481339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.596924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42363640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.568357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21628 KachelY 11140 -2.10481339 1.42363640 -120.596924 81.568357
    Oben rechts KachelX + 1 21629 KachelY 11140 -2.10476545 1.42363640 -120.594177 81.568357
    Unten links KachelX 21628 KachelY + 1 11141 -2.10481339 1.42362937 -120.596924 81.567954
    Unten rechts KachelX + 1 21629 KachelY + 1 11141 -2.10476545 1.42362937 -120.594177 81.567954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42363640-1.42362937) × R
    7.02999999990794e-06 × 6371000     		dl = 44.7881299994135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42363640-1.42362937) × R
    7.02999999990794e-06 × 6371000     		dr = 44.7881299994135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10481339--2.10476545) × cos(1.42363640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146629351319546 × 6371000     		do = 44.7843781324631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10481339--2.10476545) × cos(1.42362937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146636305332202 × 6371000     		du = 44.7865020669244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42363640)-sin(1.42362937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146629351319546-0.146636305332202)×R²
    abs(-2.10476545--2.10481339)×6.9540126558798e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.9540126558798e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.9540126558798e-06×40589641000000     		ar = 2005.85611325294m²