Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21622 / 11670
↖ ↑ ↗
← N 81.352207°
W120.613403°		 ← 45.92 m → N 81.352207°
W120.610657°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
N 81.351794°
W120.613403°		 ← 45.93 m →
2 110 m²		 N 81.351794°
W120.610657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164966583251953 y=0.0890388488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164966583251953 × 217)
    floor (0.164966583251953 × 131072)
    floor (21622.5)     		tx = 21622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890388488769531 × 217)
    floor (0.0890388488769531 × 131072)
    floor (11670.5)     		ty = 11670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21622 / 11670 ti = "17/21622/11670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21622/11670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21622 ÷ 217
    21622 ÷ 131072     		x = 0.164962768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11670 ÷ 217
    11670 ÷ 131072     		y = 0.0890350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164962768554688 × 2 - 1) × π
    -0.670074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10510101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0890350341796875 × 2 - 1) × π
    0.821929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58216903493394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10510101} λ = -2.10510101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58216903493394))-π/2
    2×atan(13.2257942801831)-π/2
    2×1.49533009214003-π/2
    2.99066018428005-1.57079632675     		φ = 1.41986386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10510101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.613403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41986386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.352207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21622 KachelY 11670 -2.10510101 1.41986386 -120.613403 81.352207
    Oben rechts KachelX + 1 21623 KachelY 11670 -2.10505307 1.41986386 -120.610657 81.352207
    Unten links KachelX 21622 KachelY + 1 11671 -2.10510101 1.41985665 -120.613403 81.351794
    Unten rechts KachelX + 1 21623 KachelY + 1 11671 -2.10505307 1.41985665 -120.610657 81.351794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41986386-1.41985665) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41986386-1.41985665) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10510101--2.10505307) × cos(1.41986386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150360063570118 × 6371000     		do = 45.9238336823201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10510101--2.10505307) × cos(1.41985665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150367191597897 × 6371000     		du = 45.9260107654793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41986386)-sin(1.41985665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150360063570118-0.150367191597897)×R²
    abs(-2.10505307--2.10510101)×7.12802777907973e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.12802777907973e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.12802777907973e-06×40589641000000     		ar = 2109.55716898008m²