Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2162 / 1007
↖ ↑ ↗
← N 82.723748°
W132.495117°		 ← 309.45 m → N 82.723748°
W132.473144°		 →
↑
309.50 m
↓
↑
309.50 m
↓
N 82.720964°
W132.495117°		 ← 309.57 m →
95 794 m²		 N 82.720964°
W132.473144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131988525390625 y=0.061492919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131988525390625 × 214)
    floor (0.131988525390625 × 16384)
    floor (2162.5)     		tx = 2162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.061492919921875 × 214)
    floor (0.061492919921875 × 16384)
    floor (1007.5)     		ty = 1007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2162 / 1007 ti = "14/2162/1007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2162/1007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2162 ÷ 214
    2162 ÷ 16384     		x = 0.1319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1007 ÷ 214
    1007 ÷ 16384     		y = 0.06146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.31247604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06146240234375 × 2 - 1) × π
    0.8770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.75541299016083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31247604} λ = -2.31247604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75541299016083))-π/2
    2×atan(15.7275348788962)-π/2
    2×1.50729904777734-π/2
    3.01459809555468-1.57079632675     		φ = 1.44380177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31247604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.495117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44380177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.723748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2162 KachelY 1007 -2.31247604 1.44380177 -132.495117 82.723748
    Oben rechts KachelX + 1 2163 KachelY 1007 -2.31209254 1.44380177 -132.473144 82.723748
    Unten links KachelX 2162 KachelY + 1 1008 -2.31247604 1.44375319 -132.495117 82.720964
    Unten rechts KachelX + 1 2163 KachelY + 1 1008 -2.31209254 1.44375319 -132.473144 82.720964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44380177-1.44375319) × R
    4.85800000000758e-05 × 6371000     		dl = 309.503180000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44380177-1.44375319) × R
    4.85800000000758e-05 × 6371000     		dr = 309.503180000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31247604--2.31209254) × cos(1.44380177) × R
    0.00038349999999987 × 0.126653478678151 × 6371000     		do = 309.449721404431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31247604--2.31209254) × cos(1.44375319) × R
    0.00038349999999987 × 0.126701667315055 × 6371000     		du = 309.567459664922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44380177)-sin(1.44375319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126653478678151-0.126701667315055)×R²
    abs(-2.31209254--2.31247604)×4.81886369038953e-05×R²
    0.00038349999999987×4.81886369038953e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.81886369038953e-05×40589641000000     		ar = 95793.8930267654m²