Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21618 / 11674
↖ ↑ ↗
← N 81.350554°
W120.624390°		 ← 45.93 m → N 81.350554°
W120.621643°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
N 81.350141°
W120.624390°		 ← 45.93 m →
2 110 m²		 N 81.350141°
W120.621643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164936065673828 y=0.0890693664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164936065673828 × 217)
    floor (0.164936065673828 × 131072)
    floor (21618.5)     		tx = 21618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890693664550781 × 217)
    floor (0.0890693664550781 × 131072)
    floor (11674.5)     		ty = 11674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21618 / 11674 ti = "17/21618/11674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21618/11674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21618 ÷ 217
    21618 ÷ 131072     		x = 0.164932250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11674 ÷ 217
    11674 ÷ 131072     		y = 0.0890655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164932250976562 × 2 - 1) × π
    -0.670135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10529276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0890655517578125 × 2 - 1) × π
    0.821868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58197728733546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10529276} λ = -2.10529276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58197728733546))-π/2
    2×atan(13.2232585090137)-π/2
    2×1.49531567518279-π/2
    2.99063135036558-1.57079632675     		φ = 1.41983502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10529276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.624390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41983502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.350554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21618 KachelY 11674 -2.10529276 1.41983502 -120.624390 81.350554
    Oben rechts KachelX + 1 21619 KachelY 11674 -2.10524482 1.41983502 -120.621643 81.350554
    Unten links KachelX 21618 KachelY + 1 11675 -2.10529276 1.41982781 -120.624390 81.350141
    Unten rechts KachelX + 1 21619 KachelY + 1 11675 -2.10524482 1.41982781 -120.621643 81.350141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41983502-1.41982781) × R
    7.21000000014627e-06 × 6371000     		dl = 45.9349100009319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41983502-1.41982781) × R
    7.21000000014627e-06 × 6371000     		dr = 45.9349100009319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10529276--2.10524482) × cos(1.41983502) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.150388575634333 × 6371000     		do = 45.9325420010574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10529276--2.10524482) × cos(1.41982781) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.150395703630843 × 6371000     		du = 45.9347190746663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41983502)-sin(1.41982781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150388575634333-0.150395703630843)×R²
    abs(-2.10524482--2.10529276)×7.12799651025886e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.12799651025886e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.12799651025886e-06×40589641000000     		ar = 2109.95718485815m²