Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21602 / 46818
↖ ↑ ↗
← S 60.850262°
W 61.336670°		 ← 297.51 m → S 60.850262°
W 61.331177°		 →
↑
297.53 m
↓
↑
297.53 m
↓
S 60.852938°
W 61.336670°		 ← 297.49 m →
88 513 m²		 S 60.852938°
W 61.331177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.329627990722656 y=0.714393615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.329627990722656 × 216)
    floor (0.329627990722656 × 65536)
    floor (21602.5)     		tx = 21602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714393615722656 × 216)
    floor (0.714393615722656 × 65536)
    floor (46818.5)     		ty = 46818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21602 / 46818 ti = "16/21602/46818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21602/46818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21602 ÷ 216
    21602 ÷ 65536     		x = 0.329620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46818 ÷ 216
    46818 ÷ 65536     		y = 0.714385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.329620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.34075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.07052684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.42877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.34702687932358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.07052684} λ = -1.07052684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34702687932358))-π/2
    2×atan(0.260012160131542)-π/2
    2×0.254379448676468-π/2
    0.508758897352936-1.57079632675     		φ = -1.06203743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.07052684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.336670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06203743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.850262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21602 KachelY 46818 -1.07052684 -1.06203743 -61.336670 -60.850262
    Oben rechts KachelX + 1 21603 KachelY 46818 -1.07043097 -1.06203743 -61.331177 -60.850262
    Unten links KachelX 21602 KachelY + 1 46819 -1.07052684 -1.06208413 -61.336670 -60.852938
    Unten rechts KachelX + 1 21603 KachelY + 1 46819 -1.07043097 -1.06208413 -61.331177 -60.852938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06203743--1.06208413) × R
    4.66999999999551e-05 × 6371000     		dl = 297.525699999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06203743--1.06208413) × R
    4.66999999999551e-05 × 6371000     		dr = 297.525699999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.07052684--1.07043097) × cos(-1.06203743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.487093705176575 × 6371000     		do = 297.510877965831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.07052684--1.07043097) × cos(-1.06208413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.487052919213813 × 6371000     		du = 297.485966398588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06203743)-sin(-1.06208413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.487093705176575-0.487052919213813)×R²
    abs(-1.07043097--1.07052684)×4.0785962762635e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0785962762635e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0785962762635e-05×40589641000000     		ar = 88513.4263249751m²