Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21600 / 8993
↖ ↑ ↗
← N 82.390430°
W120.673828°		 ← 40.45 m → N 82.390430°
W120.671081°		 →
↑
40.39 m
↓
↑
40.39 m
↓
N 82.390067°
W120.673828°		 ← 40.45 m →
1 634 m²		 N 82.390067°
W120.671081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164798736572266 y=0.0686149597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164798736572266 × 217)
    floor (0.164798736572266 × 131072)
    floor (21600.5)     		tx = 21600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0686149597167969 × 217)
    floor (0.0686149597167969 × 131072)
    floor (8993.5)     		ty = 8993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21600 / 8993 ti = "17/21600/8993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21600/8993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21600 ÷ 217
    21600 ÷ 131072     		x = 0.164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8993 ÷ 217
    8993 ÷ 131072     		y = 0.0686111450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.67041015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10615562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0686111450195312 × 2 - 1) × π
    0.862777709960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.71049611521684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10615562} λ = -2.10615562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71049611521684))-π/2
    2×atan(15.0367336170424)-π/2
    2×1.50439030583032-π/2
    3.00878061166064-1.57079632675     		φ = 1.43798428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10615562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.673828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43798428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.390430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21600 KachelY 8993 -2.10615562 1.43798428 -120.673828 82.390430
    Oben rechts KachelX + 1 21601 KachelY 8993 -2.10610768 1.43798428 -120.671081 82.390430
    Unten links KachelX 21600 KachelY + 1 8994 -2.10615562 1.43797794 -120.673828 82.390067
    Unten rechts KachelX + 1 21601 KachelY + 1 8994 -2.10610768 1.43797794 -120.671081 82.390067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43798428-1.43797794) × R
    6.3400000001046e-06 × 6371000     		dl = 40.3921400006664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43798428-1.43797794) × R
    6.3400000001046e-06 × 6371000     		dr = 40.3921400006664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10615562--2.10610768) × cos(1.43798428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132421944842437 × 6371000     		do = 40.445070495714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10615562--2.10610768) × cos(1.43797794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132428229006163 × 6371000     		du = 40.4469898410702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43798428)-sin(1.43797794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132421944842437-0.132428229006163)×R²
    abs(-2.10610768--2.10615562)×6.28416372597251e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.28416372597251e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.28416372597251e-06×40589641000000     		ar = 1633.7017128833m²