Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2160 / 1008
↖ ↑ ↗
← N 82.720964°
W132.539063°		 ← 309.57 m → N 82.720964°
W132.517090°		 →
↑
309.63 m
↓
↑
309.63 m
↓
N 82.718180°
W132.539063°		 ← 309.69 m →
95 870 m²		 N 82.718180°
W132.517090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131866455078125 y=0.061553955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131866455078125 × 214)
    floor (0.131866455078125 × 16384)
    floor (2160.5)     		tx = 2160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.061553955078125 × 214)
    floor (0.061553955078125 × 16384)
    floor (1008.5)     		ty = 1008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2160 / 1008 ti = "14/2160/1008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2160/1008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2160 ÷ 214
    2160 ÷ 16384     		x = 0.1318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1008 ÷ 214
    1008 ÷ 16384     		y = 0.0615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1318359375 × 2 - 1) × π
    -0.736328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31324303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0615234375 × 2 - 1) × π
    0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31324303} λ = -2.31324303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75502949496387))-π/2
    2×atan(15.7215046011753)-π/2
    2×1.50727475765697-π/2
    3.01454951531393-1.57079632675     		φ = 1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31324303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.539063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2160 KachelY 1008 -2.31324303 1.44375319 -132.539063 82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 2161 KachelY 1008 -2.31285953 1.44375319 -132.517090 82.720964
    Unten links KachelX 2160 KachelY + 1 1009 -2.31324303 1.44370459 -132.539063 82.718180
    Unten rechts KachelX + 1 2161 KachelY + 1 1009 -2.31285953 1.44370459 -132.517090 82.718180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44375319-1.44370459) × R
    4.85999999999542e-05 × 6371000     		dl = 309.630599999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44375319-1.44370459) × R
    4.85999999999542e-05 × 6371000     		dr = 309.630599999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31324303--2.31285953) × cos(1.44375319) × R
    0.000383500000000314 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 309.567459665281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31324303--2.31285953) × cos(1.44370459) × R
    0.000383500000000314 × 0.126749875491635 × 6371000     		du = 309.685245666643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44375319)-sin(1.44370459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.126749875491635)×R²
    abs(-2.31285953--2.31324303)×4.82081765799669e-05×R²
    0.000383500000000314×4.82081765799669e-05×6371000²
    0.000383500000000314×4.82081765799669e-05×40589641000000     		ar = 95869.7933694053m²