Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21599 / 8991
↖ ↑ ↗
← N 82.391158°
W120.676575°		 ← 40.44 m → N 82.391158°
W120.673828°		 →
↑
40.46 m
↓
↑
40.46 m
↓
N 82.390794°
W120.676575°		 ← 40.44 m →
1 636 m²		 N 82.390794°
W120.673828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164791107177734 y=0.0685997009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164791107177734 × 217)
    floor (0.164791107177734 × 131072)
    floor (21599.5)     		tx = 21599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0685997009277344 × 217)
    floor (0.0685997009277344 × 131072)
    floor (8991.5)     		ty = 8991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21599 / 8991 ti = "17/21599/8991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21599/8991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21599 ÷ 217
    21599 ÷ 131072     		x = 0.164787292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8991 ÷ 217
    8991 ÷ 131072     		y = 0.0685958862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164787292480469 × 2 - 1) × π
    -0.670425415039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.10620356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0685958862304688 × 2 - 1) × π
    0.862808227539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.71059198901608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10620356} λ = -2.10620356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71059198901608))-π/2
    2×atan(15.0381753149318)-π/2
    2×1.50439665342595-π/2
    3.00879330685191-1.57079632675     		φ = 1.43799698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10620356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.676575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43799698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.391158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21599 KachelY 8991 -2.10620356 1.43799698 -120.676575 82.391158
    Oben rechts KachelX + 1 21600 KachelY 8991 -2.10615562 1.43799698 -120.673828 82.391158
    Unten links KachelX 21599 KachelY + 1 8992 -2.10620356 1.43799063 -120.676575 82.390794
    Unten rechts KachelX + 1 21600 KachelY + 1 8992 -2.10615562 1.43799063 -120.673828 82.390794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43799698-1.43799063) × R
    6.35000000004382e-06 × 6371000     		dl = 40.4558500002792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43799698-1.43799063) × R
    6.35000000004382e-06 × 6371000     		dr = 40.4558500002792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10620356--2.10615562) × cos(1.43799698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132409356675115 × 6371000     		do = 40.4412257453943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10620356--2.10615562) × cos(1.43799063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132415650761445 × 6371000     		du = 40.4431481213695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43799698)-sin(1.43799063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132409356675115-0.132415650761445)×R²
    abs(-2.10615562--2.10620356)×6.29408633079365e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.29408633079365e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.29408633079365e-06×40589641000000     		ar = 1636.12304834792m²