Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21596 / 8988
↖ ↑ ↗
← N 82.392249°
W120.684814°		 ← 40.44 m → N 82.392249°
W120.682068°		 →
↑
40.46 m
↓
↑
40.46 m
↓
N 82.391885°
W120.684814°		 ← 40.44 m →
1 636 m²		 N 82.391885°
W120.682068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164768218994141 y=0.0685768127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164768218994141 × 217)
    floor (0.164768218994141 × 131072)
    floor (21596.5)     		tx = 21596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0685768127441406 × 217)
    floor (0.0685768127441406 × 131072)
    floor (8988.5)     		ty = 8988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21596 / 8988 ti = "17/21596/8988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21596/8988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21596 ÷ 217
    21596 ÷ 131072     		x = 0.164764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8988 ÷ 217
    8988 ÷ 131072     		y = 0.068572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.67047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10634737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.068572998046875 × 2 - 1) × π
    0.86285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.71073579971494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10634737} λ = -2.10634737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71073579971494))-π/2
    2×atan(15.040338120947)-π/2
    2×1.50440617368846-π/2
    3.00881234737693-1.57079632675     		φ = 1.43801602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10634737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.684814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43801602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.392249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21596 KachelY 8988 -2.10634737 1.43801602 -120.684814 82.392249
    Oben rechts KachelX + 1 21597 KachelY 8988 -2.10629943 1.43801602 -120.682068 82.392249
    Unten links KachelX 21596 KachelY + 1 8989 -2.10634737 1.43800967 -120.684814 82.391885
    Unten rechts KachelX + 1 21597 KachelY + 1 8989 -2.10629943 1.43800967 -120.682068 82.391885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43801602-1.43800967) × R
    6.35000000004382e-06 × 6371000     		dl = 40.4558500002792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43801602-1.43800967) × R
    6.35000000004382e-06 × 6371000     		dr = 40.4558500002792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10634737--2.10629943) × cos(1.43801602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132390484296065 × 6371000     		do = 40.4354616350577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10634737--2.10629943) × cos(1.43800967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132396778398404 × 6371000     		du = 40.4373840159221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43801602)-sin(1.43800967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132390484296065-0.132396778398404)×R²
    abs(-2.10629943--2.10634737)×6.29410233882188e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.29410233882188e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.29410233882188e-06×40589641000000     		ar = 1635.88985641196m²