Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2159 / 983
↖ ↑ ↗
← N 82.790234°
W132.561035°		 ← 306.63 m → N 82.790234°
W132.539063°		 →
↑
306.70 m
↓
↑
306.70 m
↓
N 82.787476°
W132.561035°		 ← 306.75 m →
94 061 m²		 N 82.787476°
W132.539063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131805419921875 y=0.060028076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131805419921875 × 214)
    floor (0.131805419921875 × 16384)
    floor (2159.5)     		tx = 2159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.060028076171875 × 214)
    floor (0.060028076171875 × 16384)
    floor (983.5)     		ty = 983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2159 / 983 ti = "14/2159/983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2159/983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2159 ÷ 214
    2159 ÷ 16384     		x = 0.13177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 983 ÷ 214
    983 ÷ 16384     		y = 0.05999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.7364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31362652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.05999755859375 × 2 - 1) × π
    0.8800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.76461687488788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31362652} λ = -2.31362652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76461687488788))-π/2
    2×atan(15.8729574968895)-π/2
    2×1.50787924708884-π/2
    3.01575849417768-1.57079632675     		φ = 1.44496217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31362652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.561035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44496217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.790234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2159 KachelY 983 -2.31362652 1.44496217 -132.561035 82.790234
    Oben rechts KachelX + 1 2160 KachelY 983 -2.31324303 1.44496217 -132.539063 82.790234
    Unten links KachelX 2159 KachelY + 1 984 -2.31362652 1.44491403 -132.561035 82.787476
    Unten rechts KachelX + 1 2160 KachelY + 1 984 -2.31324303 1.44491403 -132.539063 82.787476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44496217-1.44491403) × R
    4.81399999998633e-05 × 6371000     		dl = 306.699939999129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44496217-1.44491403) × R
    4.81399999998633e-05 × 6371000     		dr = 306.699939999129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31362652--2.31324303) × cos(1.44496217) × R
    0.000383489999999931 × 0.125502338339814 × 6371000     		do = 306.629169211362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31362652--2.31324303) × cos(1.44491403) × R
    0.000383489999999931 × 0.125550097566978 × 6371000     		du = 306.745855261529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44496217)-sin(1.44491403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125502338339814-0.125550097566978)×R²
    abs(-2.31324303--2.31362652)×4.77592271644622e-05×R²
    0.000383489999999931×4.77592271644622e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.77592271644622e-05×40589641000000     		ar = 94061.0416200447m²