Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2159 / 2281
↖ ↑ ↗
← S 20.055932°
E  9.755860°		 ← 9 180.34 m → S 20.055932°
E  9.843750°		 →
↑
9 177.87 m
↓
↑
9 177.87 m
↓
S 20.138470°
E  9.755860°		 ← 9 175.50 m →
84 233 759 m²		 S 20.138470°
E  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5272216796875 y=0.5570068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5272216796875 × 212)
    floor (0.5272216796875 × 4096)
    floor (2159.5)     		tx = 2159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5570068359375 × 212)
    floor (0.5570068359375 × 4096)
    floor (2281.5)     		ty = 2281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2159 / 2281 ti = "12/2159/2281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2159/2281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2159 ÷ 212
    2159 ÷ 4096     		x = 0.527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2281 ÷ 212
    2281 ÷ 4096     		y = 0.556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527099609375 × 2 - 1) × π
    0.05419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17027187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.357417523567139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17027187} λ = 0.17027187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357417523567139))-π/2
    2×atan(0.699480387210929)-π/2
    2×0.610377145836589-π/2
    1.22075429167318-1.57079632675     		φ = -0.35004204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17027187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.755860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35004204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.055932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2159 KachelY 2281 0.17027187 -0.35004204 9.755860 -20.055932
    Oben rechts KachelX + 1 2160 KachelY 2281 0.17180585 -0.35004204 9.843750 -20.055932
    Unten links KachelX 2159 KachelY + 1 2282 0.17027187 -0.35148261 9.755860 -20.138470
    Unten rechts KachelX + 1 2160 KachelY + 1 2282 0.17180585 -0.35148261 9.843750 -20.138470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35004204--0.35148261) × R
    0.00144056999999997 × 6371000     		dl = 9177.87146999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35004204--0.35148261) × R
    0.00144056999999997 × 6371000     		dr = 9177.87146999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17027187-0.17180585) × cos(-0.35004204) × R
    0.00153398000000002 × 0.939358296593452 × 6371000     		do = 9180.33602641958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17027187-0.17180585) × cos(-0.35148261) × R
    0.00153398000000002 × 0.938863296882702 × 6371000     		du = 9175.49840088931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35004204)-sin(-0.35148261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939358296593452-0.938863296882702)×R²
    abs(0.17180585-0.17027187)×0.000494999710750066×R²
    0.00153398000000002×0.000494999710750066×6371000²
    0.00153398000000002×0.000494999710750066×40589641000000     		ar = 84233759.1163381m²