Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21584 / 29840
↖ ↑ ↗
← N 69.519147°
W120.717773°		 ← 106.84 m → N 69.519147°
W120.715027°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
N 69.518186°
W120.717773°		 ← 106.85 m →
11 423 m²		 N 69.518186°
W120.715027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164676666259766 y=0.227664947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164676666259766 × 217)
    floor (0.164676666259766 × 131072)
    floor (21584.5)     		tx = 21584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227664947509766 × 217)
    floor (0.227664947509766 × 131072)
    floor (29840.5)     		ty = 29840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21584 / 29840 ti = "17/21584/29840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21584/29840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21584 ÷ 217
    21584 ÷ 131072     		x = 0.1646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29840 ÷ 217
    29840 ÷ 131072     		y = 0.2276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10692261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2276611328125 × 2 - 1) × π
    0.544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71115556883752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10692261} λ = -2.10692261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71115556883752))-π/2
    2×atan(5.53535426615365)-π/2
    2×1.39206716700465-π/2
    2.7841343340093-1.57079632675     		φ = 1.21333801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10692261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.717773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21333801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.519147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21584 KachelY 29840 -2.10692261 1.21333801 -120.717773 69.519147
    Oben rechts KachelX + 1 21585 KachelY 29840 -2.10687468 1.21333801 -120.715027 69.519147
    Unten links KachelX 21584 KachelY + 1 29841 -2.10692261 1.21332123 -120.717773 69.518186
    Unten rechts KachelX + 1 21585 KachelY + 1 29841 -2.10687468 1.21332123 -120.715027 69.518186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21333801-1.21332123) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21333801-1.21332123) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10692261--2.10687468) × cos(1.21333801) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.349894344725622 × 6371000     		do = 106.844447390011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10692261--2.10687468) × cos(1.21332123) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.349910063998621 × 6371000     		du = 106.849247459124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21333801)-sin(1.21332123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349894344725622-0.349910063998621)×R²
    abs(-2.10687468--2.10692261)×1.57192729988154e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.57192729988154e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.57192729988154e-05×40589641000000     		ar = 11422.5028257672m²