Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21584 / 29711
↖ ↑ ↗
← N 69.642759°
W120.717773°		 ← 106.23 m → N 69.642759°
W120.715027°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 69.641804°
W120.717773°		 ← 106.23 m →
11 289 m²		 N 69.641804°
W120.715027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164676666259766 y=0.226680755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164676666259766 × 217)
    floor (0.164676666259766 × 131072)
    floor (21584.5)     		tx = 21584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226680755615234 × 217)
    floor (0.226680755615234 × 131072)
    floor (29711.5)     		ty = 29711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21584 / 29711 ti = "17/21584/29711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21584/29711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21584 ÷ 217
    21584 ÷ 131072     		x = 0.1646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29711 ÷ 217
    29711 ÷ 131072     		y = 0.226676940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10692261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226676940917969 × 2 - 1) × π
    0.546646118164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.71733942888851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10692261} λ = -2.10692261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71733942888851))-π/2
    2×atan(5.56969017708474)-π/2
    2×1.3931458874864-π/2
    2.78629177497279-1.57079632675     		φ = 1.21549545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10692261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.717773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21549545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.642759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21584 KachelY 29711 -2.10692261 1.21549545 -120.717773 69.642759
    Oben rechts KachelX + 1 21585 KachelY 29711 -2.10687468 1.21549545 -120.715027 69.642759
    Unten links KachelX 21584 KachelY + 1 29712 -2.10692261 1.21547877 -120.717773 69.641804
    Unten rechts KachelX + 1 21585 KachelY + 1 29712 -2.10687468 1.21547877 -120.715027 69.641804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21549545-1.21547877) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dl = 106.268279999236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21549545-1.21547877) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dr = 106.268279999236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10692261--2.10687468) × cos(1.21549545) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.3478724655687 × 6371000     		do = 106.227042266244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10692261--2.10687468) × cos(1.21547877) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.347888103718606 × 6371000     		du = 106.231817563445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21549545)-sin(1.21547877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3478724655687-0.347888103718606)×R²
    abs(-2.10687468--2.10692261)×1.56381499061276e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.56381499061276e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.56381499061276e-05×40589641000000     		ar = 11288.8188026692m²