Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21582 / 29714
↖ ↑ ↗
← N 69.639893°
W120.723267°		 ← 106.26 m → N 69.639893°
W120.720520°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 69.638937°
W120.723267°		 ← 106.27 m →
11 293 m²		 N 69.638937°
W120.720520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164661407470703 y=0.226703643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164661407470703 × 217)
    floor (0.164661407470703 × 131072)
    floor (21582.5)     		tx = 21582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226703643798828 × 217)
    floor (0.226703643798828 × 131072)
    floor (29714.5)     		ty = 29714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21582 / 29714 ti = "17/21582/29714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21582/29714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21582 ÷ 217
    21582 ÷ 131072     		x = 0.164657592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29714 ÷ 217
    29714 ÷ 131072     		y = 0.226699829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164657592773438 × 2 - 1) × π
    -0.670684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10701849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226699829101562 × 2 - 1) × π
    0.546600341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71719561818965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10701849} λ = -2.10701849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71719561818965))-π/2
    2×atan(5.56888925364)-π/2
    2×1.39312087190872-π/2
    2.78624174381744-1.57079632675     		φ = 1.21544542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10701849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.723267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21544542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.639893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21582 KachelY 29714 -2.10701849 1.21544542 -120.723267 69.639893
    Oben rechts KachelX + 1 21583 KachelY 29714 -2.10697055 1.21544542 -120.720520 69.639893
    Unten links KachelX 21582 KachelY + 1 29715 -2.10701849 1.21542874 -120.723267 69.638937
    Unten rechts KachelX + 1 21583 KachelY + 1 29715 -2.10697055 1.21542874 -120.720520 69.638937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21544542-1.21542874) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dl = 106.268280000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21544542-1.21542874) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dr = 106.268280000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10701849--2.10697055) × cos(1.21544542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347919370352799 × 6371000     		do = 106.263531150268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10701849--2.10697055) × cos(1.21542874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34793500821238 × 6371000     		du = 106.268307355103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21544542)-sin(1.21542874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347919370352799-0.34793500821238)×R²
    abs(-2.10697055--2.10701849)×1.56378595805862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56378595805862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56378595805862e-05×40589641000000     		ar = 11292.6964618672m²