Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2158 / 618
↖ ↑ ↗
← N 82.057894°
W 85.166015°		 ← 675.18 m → N 82.057894°
W 85.122070°		 →
↑
675.45 m
↓
↑
675.45 m
↓
N 82.051819°
W 85.166015°		 ← 675.69 m →
456 225 m²		 N 82.051819°
W 85.122070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26348876953125 y=0.07550048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26348876953125 × 213)
    floor (0.26348876953125 × 8192)
    floor (2158.5)     		tx = 2158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07550048828125 × 213)
    floor (0.07550048828125 × 8192)
    floor (618.5)     		ty = 618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2158 / 618 ti = "13/2158/618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2158/618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2158 ÷ 213
    2158 ÷ 8192     		x = 0.263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 618 ÷ 213
    618 ÷ 8192     		y = 0.075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.47314453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.48642738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.075439453125 × 2 - 1) × π
    0.84912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.66759259005688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48642738} λ = -1.48642738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66759259005688))-π/2
    2×atan(14.4052480781374)-π/2
    2×1.5014883715255-π/2
    3.00297674305101-1.57079632675     		φ = 1.43218042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48642738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.166015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43218042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.057894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2158 KachelY 618 -1.48642738 1.43218042 -85.166015 82.057894
    Oben rechts KachelX + 1 2159 KachelY 618 -1.48566039 1.43218042 -85.122070 82.057894
    Unten links KachelX 2158 KachelY + 1 619 -1.48642738 1.43207440 -85.166015 82.051819
    Unten rechts KachelX + 1 2159 KachelY + 1 619 -1.48566039 1.43207440 -85.122070 82.051819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43218042-1.43207440) × R
    0.000106019999999818 × 6371000     		dl = 675.45341999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43218042-1.43207440) × R
    0.000106019999999818 × 6371000     		dr = 675.45341999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48642738--1.48566039) × cos(1.43218042) × R
    0.000766990000000023 × 0.138172430187563 × 6371000     		do = 675.178652974543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48642738--1.48566039) × cos(1.43207440) × R
    0.000766990000000023 × 0.138277432486949 × 6371000     		du = 675.691746005924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43218042)-sin(1.43207440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138172430187563-0.138277432486949)×R²
    abs(-1.48566039--1.48642738)×0.000105002299385509×R²
    0.000766990000000023×0.000105002299385509×6371000²
    0.000766990000000023×0.000105002299385509×40589641000000     		ar = 456225.015913019m²