Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2158 / 2280
↖ ↑ ↗
← S 19.973349°
E  9.667969°		 ← 9 185.16 m → S 19.973349°
E  9.755860°		 →
↑
9 182.78 m
↓
↑
9 182.78 m
↓
S 20.055932°
E  9.667969°		 ← 9 180.34 m →
84 323 130 m²		 S 20.055932°
E  9.755860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5269775390625 y=0.5567626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5269775390625 × 212)
    floor (0.5269775390625 × 4096)
    floor (2158.5)     		tx = 2158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5567626953125 × 212)
    floor (0.5567626953125 × 4096)
    floor (2280.5)     		ty = 2280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2158 / 2280 ti = "12/2158/2280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2158/2280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2158 ÷ 212
    2158 ÷ 4096     		x = 0.52685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2280 ÷ 212
    2280 ÷ 4096     		y = 0.556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52685546875 × 2 - 1) × π
    0.0537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16873789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556640625 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.355883542779297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16873789} λ = 0.16873789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.355883542779297))-π/2
    2×atan(0.700554200079972)-π/2
    2×0.611097813918807-π/2
    1.22219562783761-1.57079632675     		φ = -0.34860070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16873789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34860070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.973349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2158 KachelY 2280 0.16873789 -0.34860070 9.667969 -19.973349
    Oben rechts KachelX + 1 2159 KachelY 2280 0.17027187 -0.34860070 9.755860 -19.973349
    Unten links KachelX 2158 KachelY + 1 2281 0.16873789 -0.35004204 9.667969 -20.055932
    Unten rechts KachelX + 1 2159 KachelY + 1 2281 0.17027187 -0.35004204 9.755860 -20.055932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34860070--0.35004204) × R
    0.00144134000000001 × 6371000     		dl = 9182.77714000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34860070--0.35004204) × R
    0.00144134000000001 × 6371000     		dr = 9182.77714000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16873789-0.17027187) × cos(-0.34860070) × R
    0.00153397999999999 × 0.939851609928014 × 6371000     		do = 9185.15717101782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16873789-0.17027187) × cos(-0.35004204) × R
    0.00153397999999999 × 0.939358296593452 × 6371000     		du = 9180.33602641941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34860070)-sin(-0.35004204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939851609928014-0.939358296593452)×R²
    abs(0.17027187-0.16873789)×0.000493313334562262×R²
    0.00153397999999999×0.000493313334562262×6371000²
    0.00153397999999999×0.000493313334562262×40589641000000     		ar = 84323130.1472971m²