Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21574 / 9286
↖ ↑ ↗
← N 82.283119°
W120.745239°		 ← 41.01 m → N 82.283119°
W120.742492°		 →
↑
40.97 m
↓
↑
40.97 m
↓
N 82.282750°
W120.745239°		 ← 41.01 m →
1 680 m²		 N 82.282750°
W120.742492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164600372314453 y=0.0708503723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164600372314453 × 217)
    floor (0.164600372314453 × 131072)
    floor (21574.5)     		tx = 21574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0708503723144531 × 217)
    floor (0.0708503723144531 × 131072)
    floor (9286.5)     		ty = 9286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21574 / 9286 ti = "17/21574/9286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21574/9286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21574 ÷ 217
    21574 ÷ 131072     		x = 0.164596557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9286 ÷ 217
    9286 ÷ 131072     		y = 0.0708465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164596557617188 × 2 - 1) × π
    -0.670806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10740198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0708465576171875 × 2 - 1) × π
    0.858306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69645060362816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10740198} λ = -2.10740198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69645060362816))-π/2
    2×atan(14.8270112773059)-π/2
    2×1.50345383586822-π/2
    3.00690767173645-1.57079632675     		φ = 1.43611134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10740198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.745239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43611134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.283119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21574 KachelY 9286 -2.10740198 1.43611134 -120.745239 82.283119
    Oben rechts KachelX + 1 21575 KachelY 9286 -2.10735404 1.43611134 -120.742492 82.283119
    Unten links KachelX 21574 KachelY + 1 9287 -2.10740198 1.43610491 -120.745239 82.282750
    Unten rechts KachelX + 1 21575 KachelY + 1 9287 -2.10735404 1.43610491 -120.742492 82.282750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43611134-1.43610491) × R
    6.43000000000171e-06 × 6371000     		dl = 40.9655300000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43611134-1.43610491) × R
    6.43000000000171e-06 × 6371000     		dr = 40.9655300000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10740198--2.10735404) × cos(1.43611134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134278157330305 × 6371000     		do = 41.012005568418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10740198--2.10735404) × cos(1.43610491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13428452909539 × 6371000     		du = 41.0139516694842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43611134)-sin(1.43610491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134278157330305-0.13428452909539)×R²
    abs(-2.10735404--2.10740198)×6.37176508500037e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.37176508500037e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.37176508500037e-06×40589641000000     		ar = 1680.11840593603m²