Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2157 / 2283
↖ ↑ ↗
← S 20.220966°
E  9.580078°		 ← 9 170.64 m → S 20.220966°
E  9.667969°		 →
↑
9 168.25 m
↓
↑
9 168.25 m
↓
S 20.303418°
E  9.580078°		 ← 9 165.77 m →
84 056 458 m²		 S 20.303418°
E  9.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5267333984375 y=0.5574951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5267333984375 × 212)
    floor (0.5267333984375 × 4096)
    floor (2157.5)     		tx = 2157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5574951171875 × 212)
    floor (0.5574951171875 × 4096)
    floor (2283.5)     		ty = 2283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2157 / 2283 ti = "12/2157/2283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2157/2283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2157 ÷ 212
    2157 ÷ 4096     		x = 0.526611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2283 ÷ 212
    2283 ÷ 4096     		y = 0.557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526611328125 × 2 - 1) × π
    0.05322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16720391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.360485485142822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16720391} λ = 0.16720391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.360485485142822))-π/2
    2×atan(0.697337696786619)-π/2
    2×0.6089369480094-π/2
    1.2178738960188-1.57079632675     		φ = -0.35292243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16720391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35292243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.220966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2157 KachelY 2283 0.16720391 -0.35292243 9.580078 -20.220966
    Oben rechts KachelX + 1 2158 KachelY 2283 0.16873789 -0.35292243 9.667969 -20.220966
    Unten links KachelX 2157 KachelY + 1 2284 0.16720391 -0.35436149 9.580078 -20.303418
    Unten rechts KachelX + 1 2158 KachelY + 1 2284 0.16873789 -0.35436149 9.667969 -20.303418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35292243--0.35436149) × R
    0.00143905999999999 × 6371000     		dl = 9168.25125999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35292243--0.35436149) × R
    0.00143905999999999 × 6371000     		dr = 9168.25125999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16720391-0.16873789) × cos(-0.35292243) × R
    0.00153397999999999 × 0.93836660803527 × 6371000     		do = 9170.64426744876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16720391-0.16873789) × cos(-0.35436149) × R
    0.00153397999999999 × 0.93786823759148 × 6371000     		du = 9165.77369978973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35292243)-sin(-0.35436149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93836660803527-0.93786823759148)×R²
    abs(0.16873789-0.16720391)×0.000498370443790308×R²
    0.00153397999999999×0.000498370443790308×6371000²
    0.00153397999999999×0.000498370443790308×40589641000000     		ar = 84056458.0720092m²