Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2156 / 988
↖ ↑ ↗
← N 82.776432°
W132.626953°		 ← 307.22 m → N 82.776432°
W132.604980°		 →
↑
307.27 m
↓
↑
307.27 m
↓
N 82.773669°
W132.626953°		 ← 307.34 m →
94 419 m²		 N 82.773669°
W132.604980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131622314453125 y=0.060333251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131622314453125 × 214)
    floor (0.131622314453125 × 16384)
    floor (2156.5)     		tx = 2156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.060333251953125 × 214)
    floor (0.060333251953125 × 16384)
    floor (988.5)     		ty = 988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2156 / 988 ti = "14/2156/988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2156/988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2156 ÷ 214
    2156 ÷ 16384     		x = 0.131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 988 ÷ 214
    988 ÷ 16384     		y = 0.060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.73681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31477701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.060302734375 × 2 - 1) × π
    0.87939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.76269939890308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31477701} λ = -2.31477701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76269939890308))-π/2
    2×atan(15.8425506436033)-π/2
    2×1.50775880870805-π/2
    3.01551761741611-1.57079632675     		φ = 1.44472129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31477701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.626953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44472129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.776432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2156 KachelY 988 -2.31477701 1.44472129 -132.626953 82.776432
    Oben rechts KachelX + 1 2157 KachelY 988 -2.31439351 1.44472129 -132.604980 82.776432
    Unten links KachelX 2156 KachelY + 1 989 -2.31477701 1.44467306 -132.626953 82.773669
    Unten rechts KachelX + 1 2157 KachelY + 1 989 -2.31439351 1.44467306 -132.604980 82.773669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44472129-1.44467306) × R
    4.82299999999825e-05 × 6371000     		dl = 307.273329999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44472129-1.44467306) × R
    4.82299999999825e-05 × 6371000     		dr = 307.273329999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31477701--2.31439351) × cos(1.44472129) × R
    0.00038349999999987 × 0.125741310136311 × 6371000     		do = 307.221039617776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31477701--2.31439351) × cos(1.44467306) × R
    0.00038349999999987 × 0.125789157191623 × 6371000     		du = 307.337943299308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44472129)-sin(1.44467306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125741310136311-0.125789157191623)×R²
    abs(-2.31439351--2.31477701)×4.78470553119947e-05×R²
    0.00038349999999987×4.78470553119947e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.78470553119947e-05×40589641000000     		ar = 94418.7926001594m²