Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2156 / 2282
↖ ↑ ↗
← S 20.138470°
E  9.492188°		 ← 9 175.50 m → S 20.138470°
E  9.580078°		 →
↑
9 173.09 m
↓
↑
9 173.09 m
↓
S 20.220966°
E  9.492188°		 ← 9 170.64 m →
84 145 453 m²		 S 20.220966°
E  9.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5264892578125 y=0.5572509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5264892578125 × 212)
    floor (0.5264892578125 × 4096)
    floor (2156.5)     		tx = 2156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5572509765625 × 212)
    floor (0.5572509765625 × 4096)
    floor (2282.5)     		ty = 2282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2156 / 2282 ti = "12/2156/2282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2156/2282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2156 ÷ 212
    2156 ÷ 4096     		x = 0.5263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2282 ÷ 212
    2282 ÷ 4096     		y = 0.55712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5263671875 × 2 - 1) × π
    0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55712890625 × 2 - 1) × π
    -0.1142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.35895150435498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16566993} λ = 0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35895150435498))-π/2
    2×atan(0.698408220287449)-π/2
    2×0.609656856768563-π/2
    1.21931371353713-1.57079632675     		φ = -0.35148261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35148261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.138470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2156 KachelY 2282 0.16566993 -0.35148261 9.492188 -20.138470
    Oben rechts KachelX + 1 2157 KachelY 2282 0.16720391 -0.35148261 9.580078 -20.138470
    Unten links KachelX 2156 KachelY + 1 2283 0.16566993 -0.35292243 9.492188 -20.220966
    Unten rechts KachelX + 1 2157 KachelY + 1 2283 0.16720391 -0.35292243 9.580078 -20.220966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35148261--0.35292243) × R
    0.00143982000000004 × 6371000     		dl = 9173.09322000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35148261--0.35292243) × R
    0.00143982000000004 × 6371000     		dr = 9173.09322000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16566993-0.16720391) × cos(-0.35148261) × R
    0.00153398000000002 × 0.938863296882702 × 6371000     		do = 9175.49840088931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16566993-0.16720391) × cos(-0.35292243) × R
    0.00153398000000002 × 0.93836660803527 × 6371000     		du = 9170.64426744892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35148261)-sin(-0.35292243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938863296882702-0.93836660803527)×R²
    abs(0.16720391-0.16566993)×0.000496688847432036×R²
    0.00153398000000002×0.000496688847432036×6371000²
    0.00153398000000002×0.000496688847432036×40589641000000     		ar = 84145452.9987443m²