Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2156 / 1652
↖ ↑ ↗
← N 80.689788°
W132.626953°		 ← 395.27 m → N 80.689788°
W132.604980°		 →
↑
395.32 m
↓
↑
395.32 m
↓
N 80.686233°
W132.626953°		 ← 395.42 m →
156 289 m²		 N 80.686233°
W132.604980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131622314453125 y=0.100860595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131622314453125 × 214)
    floor (0.131622314453125 × 16384)
    floor (2156.5)     		tx = 2156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100860595703125 × 214)
    floor (0.100860595703125 × 16384)
    floor (1652.5)     		ty = 1652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2156 / 1652 ti = "14/2156/1652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2156/1652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2156 ÷ 214
    2156 ÷ 16384     		x = 0.131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1652 ÷ 214
    1652 ÷ 16384     		y = 0.100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.73681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31477701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100830078125 × 2 - 1) × π
    0.79833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50805858812134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31477701} λ = -2.31477701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50805858812134))-π/2
    2×atan(12.281064297259)-π/2
    2×1.48954940447619-π/2
    2.97909880895238-1.57079632675     		φ = 1.40830248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31477701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.626953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40830248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.689788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2156 KachelY 1652 -2.31477701 1.40830248 -132.626953 80.689788
    Oben rechts KachelX + 1 2157 KachelY 1652 -2.31439351 1.40830248 -132.604980 80.689788
    Unten links KachelX 2156 KachelY + 1 1653 -2.31477701 1.40824043 -132.626953 80.686233
    Unten rechts KachelX + 1 2157 KachelY + 1 1653 -2.31439351 1.40824043 -132.604980 80.686233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40830248-1.40824043) × R
    6.20499999999247e-05 × 6371000     		dl = 395.32054999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40830248-1.40824043) × R
    6.20499999999247e-05 × 6371000     		dr = 395.32054999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31477701--2.31439351) × cos(1.40830248) × R
    0.00038349999999987 × 0.161779702237399 × 6371000     		do = 395.272868212904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31477701--2.31439351) × cos(1.40824043) × R
    0.00038349999999987 × 0.16184093453498 × 6371000     		du = 395.42247576909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40830248)-sin(1.40824043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161779702237399-0.16184093453498)×R²
    abs(-2.31439351--2.31477701)×6.12322975809543e-05×R²
    0.00038349999999987×6.12322975809543e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.12322975809543e-05×40589641000000     		ar = 156289.059182882m²