Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21551 / 31665
↖ ↑ ↗
← N 67.691729°
W120.808411°		 ← 115.94 m → N 67.691729°
W120.805664°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
N 67.690686°
W120.808411°		 ← 115.94 m →
13 443 m²		 N 67.690686°
W120.805664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164424896240234 y=0.241588592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164424896240234 × 217)
    floor (0.164424896240234 × 131072)
    floor (21551.5)     		tx = 21551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241588592529297 × 217)
    floor (0.241588592529297 × 131072)
    floor (31665.5)     		ty = 31665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21551 / 31665 ti = "17/21551/31665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21551/31665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21551 ÷ 217
    21551 ÷ 131072     		x = 0.164421081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31665 ÷ 217
    31665 ÷ 131072     		y = 0.241584777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164421081542969 × 2 - 1) × π
    -0.671157836914062 × 3.1415926535     		Λ = -2.10850453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241584777832031 × 2 - 1) × π
    0.516830444335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.62367072703092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10850453} λ = -2.10850453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62367072703092))-π/2
    2×atan(5.07167291673943)-π/2
    2×1.37611993185623-π/2
    2.75223986371245-1.57079632675     		φ = 1.18144354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10850453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.808411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18144354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.691729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21551 KachelY 31665 -2.10850453 1.18144354 -120.808411 67.691729
    Oben rechts KachelX + 1 21552 KachelY 31665 -2.10845659 1.18144354 -120.805664 67.691729
    Unten links KachelX 21551 KachelY + 1 31666 -2.10850453 1.18142534 -120.808411 67.690686
    Unten rechts KachelX + 1 21552 KachelY + 1 31666 -2.10845659 1.18142534 -120.805664 67.690686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18144354-1.18142534) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dl = 115.952199999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18144354-1.18142534) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dr = 115.952199999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10850453--2.10845659) × cos(1.18144354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379589722180297 × 6371000     		do = 115.936471793236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10850453--2.10845659) × cos(1.18142534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379606559937138 × 6371000     		du = 115.941614477579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18144354)-sin(1.18142534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379589722180297-0.379606559937138)×R²
    abs(-2.10845659--2.10850453)×1.68377568407485e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68377568407485e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68377568407485e-05×40589641000000     		ar = 13443.3871176481m²