Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21542 / 29662
↖ ↑ ↗
← N 69.689525°
W120.833130°		 ← 106.02 m → N 69.689525°
W120.830383°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
N 69.688572°
W120.833130°		 ← 106.02 m →
11 239 m²		 N 69.688572°
W120.830383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164356231689453 y=0.226306915283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164356231689453 × 217)
    floor (0.164356231689453 × 131072)
    floor (21542.5)     		tx = 21542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226306915283203 × 217)
    floor (0.226306915283203 × 131072)
    floor (29662.5)     		ty = 29662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21542 / 29662 ti = "17/21542/29662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21542/29662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21542 ÷ 217
    21542 ÷ 131072     		x = 0.164352416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29662 ÷ 217
    29662 ÷ 131072     		y = 0.226303100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164352416992188 × 2 - 1) × π
    -0.671295166015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10893596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226303100585938 × 2 - 1) × π
    0.547393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71968833696989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10893596} λ = -2.10893596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71968833696989))-π/2
    2×atan(5.58278824440835)-π/2
    2×1.39355399813035-π/2
    2.7871079962607-1.57079632675     		φ = 1.21631167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10893596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.833130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21631167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.689525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21542 KachelY 29662 -2.10893596 1.21631167 -120.833130 69.689525
    Oben rechts KachelX + 1 21543 KachelY 29662 -2.10888802 1.21631167 -120.830383 69.689525
    Unten links KachelX 21542 KachelY + 1 29663 -2.10893596 1.21629503 -120.833130 69.688572
    Unten rechts KachelX + 1 21543 KachelY + 1 29663 -2.10888802 1.21629503 -120.830383 69.688572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21631167-1.21629503) × R
    1.66400000001232e-05 × 6371000     		dl = 106.013440000785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21631167-1.21629503) × R
    1.66400000001232e-05 × 6371000     		dr = 106.013440000785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10893596--2.10888802) × cos(1.21631167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347107109354087 × 6371000     		do = 106.015445733663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10893596--2.10888802) × cos(1.21629503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347122714722229 × 6371000     		du = 106.020212014776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21631167)-sin(1.21629503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347107109354087-0.347122714722229)×R²
    abs(-2.10888802--2.10893596)×1.56053681416579e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56053681416579e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56053681416579e-05×40589641000000     		ar = 11239.3147405886m²