Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2154 / 614
↖ ↑ ↗
← N 82.082145°
W 85.341797°		 ← 673.13 m → N 82.082145°
W 85.297851°		 →
↑
673.35 m
↓
↑
673.35 m
↓
N 82.076089°
W 85.341797°		 ← 673.64 m →
453 425 m²		 N 82.076089°
W 85.297851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26300048828125 y=0.07501220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26300048828125 × 213)
    floor (0.26300048828125 × 8192)
    floor (2154.5)     		tx = 2154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07501220703125 × 213)
    floor (0.07501220703125 × 8192)
    floor (614.5)     		ty = 614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2154 / 614 ti = "13/2154/614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2154/614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2154 ÷ 213
    2154 ÷ 8192     		x = 0.262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 614 ÷ 213
    614 ÷ 8192     		y = 0.074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.262939453125 × 2 - 1) × π
    -0.47412109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.48949534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.074951171875 × 2 - 1) × π
    0.85009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.67066055163257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48949534} λ = -1.48949534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67066055163257))-π/2
    2×atan(14.4495106890059)-π/2
    2×1.50170000368956-π/2
    3.00340000737911-1.57079632675     		φ = 1.43260368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48949534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.341797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43260368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.082145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2154 KachelY 614 -1.48949534 1.43260368 -85.341797 82.082145
    Oben rechts KachelX + 1 2155 KachelY 614 -1.48872835 1.43260368 -85.297851 82.082145
    Unten links KachelX 2154 KachelY + 1 615 -1.48949534 1.43249799 -85.341797 82.076089
    Unten rechts KachelX + 1 2155 KachelY + 1 615 -1.48872835 1.43249799 -85.297851 82.076089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43260368-1.43249799) × R
    0.000105689999999825 × 6371000     		dl = 673.350989998886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43260368-1.43249799) × R
    0.000105689999999825 × 6371000     		dr = 673.350989998886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48949534--1.48872835) × cos(1.43260368) × R
    0.000766990000000023 × 0.137753217653554 × 6371000     		do = 673.130173740021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48949534--1.48872835) × cos(1.43249799) × R
    0.000766990000000023 × 0.137857899297085 × 6371000     		du = 673.641699888719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43260368)-sin(1.43249799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137753217653554-0.137857899297085)×R²
    abs(-1.48872835--1.48949534)×0.000104681643530502×R²
    0.000766990000000023×0.000104681643530502×6371000²
    0.000766990000000023×0.000104681643530502×40589641000000     		ar = 453425.087627432m²