Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2154 / 1894
↖ ↑ ↗
← N 79.788958°
W132.670898°		 ← 433.13 m → N 79.788958°
W132.648926°		 →
↑
433.23 m
↓
↑
433.23 m
↓
N 79.785062°
W132.670898°		 ← 433.29 m →
187 680 m²		 N 79.785062°
W132.648926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131500244140625 y=0.115631103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131500244140625 × 214)
    floor (0.131500244140625 × 16384)
    floor (2154.5)     		tx = 2154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115631103515625 × 214)
    floor (0.115631103515625 × 16384)
    floor (1894.5)     		ty = 1894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2154 / 1894 ti = "14/2154/1894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2154/1894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2154 ÷ 214
    2154 ÷ 16384     		x = 0.1314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1894 ÷ 214
    1894 ÷ 16384     		y = 0.1156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31554400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1156005859375 × 2 - 1) × π
    0.768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41525275045691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31554400} λ = -2.31554400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41525275045691))-π/2
    2×atan(11.1925989345703)-π/2
    2×1.48168817155191-π/2
    2.96337634310381-1.57079632675     		φ = 1.39258002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31554400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.670898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39258002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.788958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2154 KachelY 1894 -2.31554400 1.39258002 -132.670898 79.788958
    Oben rechts KachelX + 1 2155 KachelY 1894 -2.31516050 1.39258002 -132.648926 79.788958
    Unten links KachelX 2154 KachelY + 1 1895 -2.31554400 1.39251202 -132.670898 79.785062
    Unten rechts KachelX + 1 2155 KachelY + 1 1895 -2.31516050 1.39251202 -132.648926 79.785062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39258002-1.39251202) × R
    6.7999999999957e-05 × 6371000     		dl = 433.227999999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39258002-1.39251202) × R
    6.7999999999957e-05 × 6371000     		dr = 433.227999999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31554400--2.31516050) × cos(1.39258002) × R
    0.00038349999999987 × 0.177274414249936 × 6371000     		do = 433.130764936814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31554400--2.31516050) × cos(1.39251202) × R
    0.00038349999999987 × 0.177341336819399 × 6371000     		du = 433.294275411949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39258002)-sin(1.39251202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177274414249936-0.177341336819399)×R²
    abs(-2.31516050--2.31554400)×6.69225694633346e-05×R²
    0.00038349999999987×6.69225694633346e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.69225694633346e-05×40589641000000     		ar = 187679.793761761m²