Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2154 / 1402
↖ ↑ ↗
← N 75.563041°
W 85.341797°		 ← 1 218.27 m → N 75.563041°
W 85.297851°		 →
↑
1 218.71 m
↓
↑
1 218.71 m
↓
N 75.552081°
W 85.341797°		 ← 1 219.18 m →
1 485 273 m²		 N 75.552081°
W 85.297851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26300048828125 y=0.17120361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26300048828125 × 213)
    floor (0.26300048828125 × 8192)
    floor (2154.5)     		tx = 2154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17120361328125 × 213)
    floor (0.17120361328125 × 8192)
    floor (1402.5)     		ty = 1402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2154 / 1402 ti = "13/2154/1402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2154/1402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2154 ÷ 213
    2154 ÷ 8192     		x = 0.262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1402 ÷ 213
    1402 ÷ 8192     		y = 0.171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.262939453125 × 2 - 1) × π
    -0.47412109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.48949534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171142578125 × 2 - 1) × π
    0.65771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.0662721212229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48949534} λ = -1.48949534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0662721212229))-π/2
    2×atan(7.89533533552464)-π/2
    2×1.4448100947864-π/2
    2.8896201895728-1.57079632675     		φ = 1.31882386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48949534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.341797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31882386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.563041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2154 KachelY 1402 -1.48949534 1.31882386 -85.341797 75.563041
    Oben rechts KachelX + 1 2155 KachelY 1402 -1.48872835 1.31882386 -85.297851 75.563041
    Unten links KachelX 2154 KachelY + 1 1403 -1.48949534 1.31863257 -85.341797 75.552081
    Unten rechts KachelX + 1 2155 KachelY + 1 1403 -1.48872835 1.31863257 -85.297851 75.552081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31882386-1.31863257) × R
    0.000191290000000066 × 6371000     		dl = 1218.70859000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31882386-1.31863257) × R
    0.000191290000000066 × 6371000     		dr = 1218.70859000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48949534--1.48872835) × cos(1.31882386) × R
    0.000766990000000023 × 0.24931462431636 × 6371000     		do = 1218.2742388208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48949534--1.48872835) × cos(1.31863257) × R
    0.000766990000000023 × 0.249499869301673 × 6371000     		du = 1219.17943719854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31882386)-sin(1.31863257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24931462431636-0.249499869301673)×R²
    abs(-1.48872835--1.48949534)×0.000185244985313054×R²
    0.000766990000000023×0.000185244985313054×6371000²
    0.000766990000000023×0.000185244985313054×40589641000000     		ar = 1485272.8708759m²