Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21536 / 11296
↖ ↑ ↗
← N 81.505299°
W120.849609°		 ← 45.11 m → N 81.505299°
W120.846863°		 →
↑
45.11 m
↓
↑
45.11 m
↓
N 81.504893°
W120.849609°		 ← 45.11 m →
2 035 m²		 N 81.504893°
W120.846863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164310455322266 y=0.0861854553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164310455322266 × 217)
    floor (0.164310455322266 × 131072)
    floor (21536.5)     		tx = 21536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0861854553222656 × 217)
    floor (0.0861854553222656 × 131072)
    floor (11296.5)     		ty = 11296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21536 / 11296 ti = "17/21536/11296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21536/11296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21536 ÷ 217
    21536 ÷ 131072     		x = 0.164306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11296 ÷ 217
    11296 ÷ 131072     		y = 0.086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164306640625 × 2 - 1) × π
    -0.67138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10922358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086181640625 × 2 - 1) × π
    0.82763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60009743539185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10922358} λ = -2.10922358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60009743539185))-π/2
    2×atan(13.465049943505)-π/2
    2×1.49666607343949-π/2
    2.99333214687897-1.57079632675     		φ = 1.42253582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10922358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.849609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42253582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.505299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21536 KachelY 11296 -2.10922358 1.42253582 -120.849609 81.505299
    Oben rechts KachelX + 1 21537 KachelY 11296 -2.10917565 1.42253582 -120.846863 81.505299
    Unten links KachelX 21536 KachelY + 1 11297 -2.10922358 1.42252874 -120.849609 81.504893
    Unten rechts KachelX + 1 21537 KachelY + 1 11297 -2.10917565 1.42252874 -120.846863 81.504893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42253582-1.42252874) × R
    7.08000000004816e-06 × 6371000     		dl = 45.1066800003068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42253582-1.42252874) × R
    7.08000000004816e-06 × 6371000     		dr = 45.1066800003068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10922358--2.10917565) × cos(1.42253582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147717946681884 × 6371000     		do = 45.1074520662395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10922358--2.10917565) × cos(1.42252874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147724949007244 × 6371000     		du = 45.109590310526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42253582)-sin(1.42252874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147717946681884-0.147724949007244)×R²
    abs(-2.10917565--2.10922358)×7.00232535941203e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.00232535941203e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.00232535941203e-06×40589641000000     		ar = 2034.69563035809m²