Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21522 / 11273
↖ ↑ ↗
← N 81.514625°
W120.888062°		 ← 45.07 m → N 81.514625°
W120.885315°		 →
↑
45.11 m
↓
↑
45.11 m
↓
N 81.514220°
W120.888062°		 ← 45.07 m →
2 033 m²		 N 81.514220°
W120.885315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164203643798828 y=0.0860099792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164203643798828 × 217)
    floor (0.164203643798828 × 131072)
    floor (21522.5)     		tx = 21522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0860099792480469 × 217)
    floor (0.0860099792480469 × 131072)
    floor (11273.5)     		ty = 11273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21522 / 11273 ti = "17/21522/11273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21522/11273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21522 ÷ 217
    21522 ÷ 131072     		x = 0.164199829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11273 ÷ 217
    11273 ÷ 131072     		y = 0.0860061645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164199829101562 × 2 - 1) × π
    -0.671600341796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10989470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0860061645507812 × 2 - 1) × π
    0.827987670898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.60119998408311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10989470} λ = -2.10989470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60119998408311))-π/2
    2×atan(13.4799040038556)-π/2
    2×1.49674746217011-π/2
    2.99349492434022-1.57079632675     		φ = 1.42269860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10989470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.888062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42269860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.514625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21522 KachelY 11273 -2.10989470 1.42269860 -120.888062 81.514625
    Oben rechts KachelX + 1 21523 KachelY 11273 -2.10984676 1.42269860 -120.885315 81.514625
    Unten links KachelX 21522 KachelY + 1 11274 -2.10989470 1.42269152 -120.888062 81.514220
    Unten rechts KachelX + 1 21523 KachelY + 1 11274 -2.10984676 1.42269152 -120.885315 81.514220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42269860-1.42269152) × R
    7.07999999982611e-06 × 6371000     		dl = 45.1066799988922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42269860-1.42269152) × R
    7.07999999982611e-06 × 6371000     		dr = 45.1066799988922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10989470--2.10984676) × cos(1.42269860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147556950498882 × 6371000     		do = 45.0676907982348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10989470--2.10984676) × cos(1.42269152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147563952994395 × 6371000     		du = 45.0698295406086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42269860)-sin(1.42269152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147556950498882-0.147563952994395)×R²
    abs(-2.10984676--2.10989470)×7.00249551280341e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.00249551280341e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.00249551280341e-06×40589641000000     		ar = 2032.90214289597m²