Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21520 / 11282
↖ ↑ ↗
← N 81.510977°
W120.893554°		 ← 45.08 m → N 81.510977°
W120.890808°		 →
↑
45.04 m
↓
↑
45.04 m
↓
N 81.510572°
W120.893554°		 ← 45.08 m →
2 030 m²		 N 81.510572°
W120.890808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164188385009766 y=0.0860786437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164188385009766 × 217)
    floor (0.164188385009766 × 131072)
    floor (21520.5)     		tx = 21520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0860786437988281 × 217)
    floor (0.0860786437988281 × 131072)
    floor (11282.5)     		ty = 11282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21520 / 11282 ti = "17/21520/11282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21520/11282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21520 ÷ 217
    21520 ÷ 131072     		x = 0.1641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11282 ÷ 217
    11282 ÷ 131072     		y = 0.0860748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10999057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0860748291015625 × 2 - 1) × π
    0.827850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60076855198653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10999057} λ = -2.10999057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60076855198653))-π/2
    2×atan(13.474089594961)-π/2
    2×1.49671562497521-π/2
    2.99343124995043-1.57079632675     		φ = 1.42263492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10999057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.893554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42263492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.510977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21520 KachelY 11282 -2.10999057 1.42263492 -120.893554 81.510977
    Oben rechts KachelX + 1 21521 KachelY 11282 -2.10994264 1.42263492 -120.890808 81.510977
    Unten links KachelX 21520 KachelY + 1 11283 -2.10999057 1.42262785 -120.893554 81.510572
    Unten rechts KachelX + 1 21521 KachelY + 1 11283 -2.10994264 1.42262785 -120.890808 81.510572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42263492-1.42262785) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dl = 45.0429699992794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42263492-1.42262785) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dr = 45.0429699992794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10999057--2.10994264) × cos(1.42263492) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147619933130416 × 6371000     		do = 45.0775224491957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10999057--2.10994264) × cos(1.42262785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147626925668955 × 6371000     		du = 45.0796577049589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42263492)-sin(1.42262785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147619933130416-0.147626925668955)×R²
    abs(-2.10994264--2.10999057)×6.99253853919668e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.99253853919668e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.99253853919668e-06×40589641000000     		ar = 2030.47358028385m²