Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2152 / 617
↖ ↑ ↗
← N 82.063963°
W 85.429688°		 ← 674.67 m → N 82.063963°
W 85.385742°		 →
↑
674.88 m
↓
↑
674.88 m
↓
N 82.057894°
W 85.429688°		 ← 675.18 m →
455 492 m²		 N 82.057894°
W 85.385742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26275634765625 y=0.07537841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26275634765625 × 213)
    floor (0.26275634765625 × 8192)
    floor (2152.5)     		tx = 2152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07537841796875 × 213)
    floor (0.07537841796875 × 8192)
    floor (617.5)     		ty = 617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2152 / 617 ti = "13/2152/617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2152/617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2152 ÷ 213
    2152 ÷ 8192     		x = 0.2626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 617 ÷ 213
    617 ÷ 8192     		y = 0.0753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2626953125 × 2 - 1) × π
    -0.474609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.49102933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0753173828125 × 2 - 1) × π
    0.849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.66835958045081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49102933} λ = -1.49102933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66835958045081))-π/2
    2×atan(14.4163010032372)-π/2
    2×1.50154133986934-π/2
    3.00308267973869-1.57079632675     		φ = 1.43228635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49102933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.429688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43228635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.063963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2152 KachelY 617 -1.49102933 1.43228635 -85.429688 82.063963
    Oben rechts KachelX + 1 2153 KachelY 617 -1.49026234 1.43228635 -85.385742 82.063963
    Unten links KachelX 2152 KachelY + 1 618 -1.49102933 1.43218042 -85.429688 82.057894
    Unten rechts KachelX + 1 2153 KachelY + 1 618 -1.49026234 1.43218042 -85.385742 82.057894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43228635-1.43218042) × R
    0.000105930000000143 × 6371000     		dl = 674.88003000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43228635-1.43218042) × R
    0.000105930000000143 × 6371000     		dr = 674.88003000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49102933--1.49026234) × cos(1.43228635) × R
    0.000766990000000023 × 0.138067515473141 × 6371000     		do = 674.665987926493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49102933--1.49026234) × cos(1.43218042) × R
    0.000766990000000023 × 0.138172430187563 × 6371000     		du = 675.178652974543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43228635)-sin(1.43218042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138067515473141-0.138172430187563)×R²
    abs(-1.49026234--1.49102933)×0.000104914714422893×R²
    0.000766990000000023×0.000104914714422893×6371000²
    0.000766990000000023×0.000104914714422893×40589641000000     		ar = 455491.596297926m²