Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2152 / 2183
↖ ↑ ↗
← S 11.781325°
E  9.140625°		 ← 9 567.11 m → S 11.781325°
E  9.228515°		 →
↑
9 565.61 m
↓
↑
9 565.61 m
↓
S 11.867351°
E  9.140625°		 ← 9 564.10 m →
91 500 872 m²		 S 11.867351°
E  9.228515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5255126953125 y=0.5330810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5255126953125 × 212)
    floor (0.5255126953125 × 4096)
    floor (2152.5)     		tx = 2152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5330810546875 × 212)
    floor (0.5330810546875 × 4096)
    floor (2183.5)     		ty = 2183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2152 / 2183 ti = "12/2152/2183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2152/2183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2152 ÷ 212
    2152 ÷ 4096     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2183 ÷ 212
    2183 ÷ 4096     		y = 0.532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.06591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.207087406358643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.207087406358643))-π/2
    2×atan(0.812948590006053)-π/2
    2×0.682586705067518-π/2
    1.36517341013504-1.57079632675     		φ = -0.20562292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20562292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.781325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2152 KachelY 2183 0.15953400 -0.20562292 9.140625 -11.781325
    Oben rechts KachelX + 1 2153 KachelY 2183 0.16106798 -0.20562292 9.228515 -11.781325
    Unten links KachelX 2152 KachelY + 1 2184 0.15953400 -0.20712435 9.140625 -11.867351
    Unten rechts KachelX + 1 2153 KachelY + 1 2184 0.16106798 -0.20712435 9.228515 -11.867351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20562292--0.20712435) × R
    0.00150143000000003 × 6371000     		dl = 9565.61053000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20562292--0.20712435) × R
    0.00150143000000003 × 6371000     		dr = 9565.61053000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.16106798) × cos(-0.20562292) × R
    0.00153397999999999 × 0.978933988520277 × 6371000     		do = 9567.10873251448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.16106798) × cos(-0.20712435) × R
    0.00153397999999999 × 0.978626327765447 × 6371000     		du = 9564.10196808634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20562292)-sin(-0.20712435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978933988520277-0.978626327765447)×R²
    abs(0.16106798-0.15953400)×0.000307660754829797×R²
    0.00153397999999999×0.000307660754829797×6371000²
    0.00153397999999999×0.000307660754829797×40589641000000     		ar = 91500872.4538008m²