Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21513 / 29702
↖ ↑ ↗
← N 69.651357°
W120.912781°		 ← 106.18 m → N 69.651357°
W120.910034°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
N 69.650401°
W120.912781°		 ← 106.19 m →
11 277 m²		 N 69.650401°
W120.910034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164134979248047 y=0.226612091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164134979248047 × 217)
    floor (0.164134979248047 × 131072)
    floor (21513.5)     		tx = 21513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226612091064453 × 217)
    floor (0.226612091064453 × 131072)
    floor (29702.5)     		ty = 29702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21513 / 29702 ti = "17/21513/29702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21513/29702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21513 ÷ 217
    21513 ÷ 131072     		x = 0.164131164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29702 ÷ 217
    29702 ÷ 131072     		y = 0.226608276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164131164550781 × 2 - 1) × π
    -0.671737670898438 × 3.1415926535     		Λ = -2.11032613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226608276367188 × 2 - 1) × π
    0.546783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71777086098509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11032613} λ = -2.11032613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71777086098509))-π/2
    2×atan(5.57209363862309)-π/2
    2×1.39322091398547-π/2
    2.78644182797094-1.57079632675     		φ = 1.21564550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11032613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.912781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21564550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.651357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21513 KachelY 29702 -2.11032613 1.21564550 -120.912781 69.651357
    Oben rechts KachelX + 1 21514 KachelY 29702 -2.11027820 1.21564550 -120.910034 69.651357
    Unten links KachelX 21513 KachelY + 1 29703 -2.11032613 1.21562883 -120.912781 69.650401
    Unten rechts KachelX + 1 21514 KachelY + 1 29703 -2.11027820 1.21562883 -120.910034 69.650401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21564550-1.21562883) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dl = 106.204569999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21564550-1.21562883) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dr = 106.204569999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11032613--2.11027820) × cos(1.21564550) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.347731783496285 × 6371000     		do = 106.184083303027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11032613--2.11027820) × cos(1.21562883) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.347747413140819 × 6371000     		du = 106.18885600301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21564550)-sin(1.21562883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347731783496285-0.347747413140819)×R²
    abs(-2.11027820--2.11032613)×1.56296445342208e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.56296445342208e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.56296445342208e-05×40589641000000     		ar = 11277.4883495007m²