Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2151 / 1894
↖ ↑ ↗
← N 79.788958°
W132.736816°		 ← 433.12 m → N 79.788958°
W132.714844°		 →
↑
433.23 m
↓
↑
433.23 m
↓
N 79.785062°
W132.736816°		 ← 433.28 m →
187 675 m²		 N 79.785062°
W132.714844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131317138671875 y=0.115631103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131317138671875 × 214)
    floor (0.131317138671875 × 16384)
    floor (2151.5)     		tx = 2151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115631103515625 × 214)
    floor (0.115631103515625 × 16384)
    floor (1894.5)     		ty = 1894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2151 / 1894 ti = "14/2151/1894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2151/1894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2151 ÷ 214
    2151 ÷ 16384     		x = 0.13128662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1894 ÷ 214
    1894 ÷ 16384     		y = 0.1156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.7374267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31669448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1156005859375 × 2 - 1) × π
    0.768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41525275045691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31669448} λ = -2.31669448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41525275045691))-π/2
    2×atan(11.1925989345703)-π/2
    2×1.48168817155191-π/2
    2.96337634310381-1.57079632675     		φ = 1.39258002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31669448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.736816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39258002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.788958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2151 KachelY 1894 -2.31669448 1.39258002 -132.736816 79.788958
    Oben rechts KachelX + 1 2152 KachelY 1894 -2.31631099 1.39258002 -132.714844 79.788958
    Unten links KachelX 2151 KachelY + 1 1895 -2.31669448 1.39251202 -132.736816 79.785062
    Unten rechts KachelX + 1 2152 KachelY + 1 1895 -2.31631099 1.39251202 -132.714844 79.785062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39258002-1.39251202) × R
    6.7999999999957e-05 × 6371000     		dl = 433.227999999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39258002-1.39251202) × R
    6.7999999999957e-05 × 6371000     		dr = 433.227999999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31669448--2.31631099) × cos(1.39258002) × R
    0.000383489999999931 × 0.177274414249936 × 6371000     		do = 433.119470783951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31669448--2.31631099) × cos(1.39251202) × R
    0.000383489999999931 × 0.177341336819399 × 6371000     		du = 433.282976995449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39258002)-sin(1.39251202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177274414249936-0.177341336819399)×R²
    abs(-2.31631099--2.31669448)×6.69225694633346e-05×R²
    0.000383489999999931×6.69225694633346e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.69225694633346e-05×40589641000000     		ar = 187674.899894939m²