Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21506 / 29698
↖ ↑ ↗
← N 69.655176°
W120.932007°		 ← 106.19 m → N 69.655176°
W120.929260°		 →
↑
106.14 m
↓
↑
106.14 m
↓
N 69.654222°
W120.932007°		 ← 106.19 m →
11 271 m²		 N 69.654222°
W120.929260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164081573486328 y=0.226581573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164081573486328 × 217)
    floor (0.164081573486328 × 131072)
    floor (21506.5)     		tx = 21506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226581573486328 × 217)
    floor (0.226581573486328 × 131072)
    floor (29698.5)     		ty = 29698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21506 / 29698 ti = "17/21506/29698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21506/29698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21506 ÷ 217
    21506 ÷ 131072     		x = 0.164077758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29698 ÷ 217
    29698 ÷ 131072     		y = 0.226577758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164077758789062 × 2 - 1) × π
    -0.671844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11066169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226577758789062 × 2 - 1) × π
    0.546844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71796260858357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11066169} λ = -2.11066169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71796260858357))-π/2
    2×atan(5.57316217663833)-π/2
    2×1.39325424935591-π/2
    2.78650849871182-1.57079632675     		φ = 1.21571217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11066169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.932007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21571217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.655176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21506 KachelY 29698 -2.11066169 1.21571217 -120.932007 69.655176
    Oben rechts KachelX + 1 21507 KachelY 29698 -2.11061375 1.21571217 -120.929260 69.655176
    Unten links KachelX 21506 KachelY + 1 29699 -2.11066169 1.21569551 -120.932007 69.654222
    Unten rechts KachelX + 1 21507 KachelY + 1 29699 -2.11061375 1.21569551 -120.929260 69.654222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21571217-1.21569551) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dl = 106.140860000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21571217-1.21569551) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dr = 106.140860000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11066169--2.11061375) × cos(1.21571217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347669273328055 × 6371000     		do = 106.187145081414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11066169--2.11061375) × cos(1.21569551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347684893982914 × 6371000     		du = 106.191916031484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21571217)-sin(1.21569551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347669273328055-0.347684893982914)×R²
    abs(-2.11061375--2.11066169)×1.56206548591054e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56206548591054e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56206548591054e-05×40589641000000     		ar = 11271.0480966729m²