Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 21506 / 23554
↖ ↑ ↗
← N 45.081278°
W 61.864014°		 ← 431.32 m → N 45.081278°
W 61.858520°		 →
↑
431.32 m
↓
↑
431.32 m
↓
N 45.077400°
W 61.864014°		 ← 431.35 m →
186 044 m²		 N 45.077400°
W 61.858520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.328163146972656 y=0.359413146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.328163146972656 × 216)
    floor (0.328163146972656 × 65536)
    floor (21506.5)     		tx = 21506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359413146972656 × 216)
    floor (0.359413146972656 × 65536)
    floor (23554.5)     		ty = 23554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21506 / 23554 ti = "16/21506/23554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21506/23554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21506 ÷ 216
    21506 ÷ 65536     		x = 0.328155517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23554 ÷ 216
    23554 ÷ 65536     		y = 0.359405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.328155517578125 × 2 - 1) × π
    -0.34368896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.07973073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359405517578125 × 2 - 1) × π
    0.28118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.883381186198395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.07973073} λ = -1.07973073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883381186198395))-π/2
    2×atan(2.41906520398482)-π/2
    2×1.17880653478634-π/2
    2.35761306957268-1.57079632675     		φ = 0.78681674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.07973073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.864014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78681674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.081278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21506 KachelY 23554 -1.07973073 0.78681674 -61.864014 45.081278
    Oben rechts KachelX + 1 21507 KachelY 23554 -1.07963485 0.78681674 -61.858520 45.081278
    Unten links KachelX 21506 KachelY + 1 23555 -1.07973073 0.78674904 -61.864014 45.077400
    Unten rechts KachelX + 1 21507 KachelY + 1 23555 -1.07963485 0.78674904 -61.858520 45.077400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78681674-0.78674904) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dl = 431.316700000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78681674-0.78674904) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dr = 431.316700000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.07973073--1.07963485) × cos(0.78681674) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.706102984911246 × 6371000     		do = 431.324053366168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.07973073--1.07963485) × cos(0.78674904) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.706150922282832 × 6371000     		du = 431.353335980549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78681674)-sin(0.78674904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706102984911246-0.706150922282832)×R²
    abs(-1.07963485--1.07973073)×4.79373715862597e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.79373715862597e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.79373715862597e-05×40589641000000     		ar = 186043.582440119m²