Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21505 / 37889
↖ ↑ ↗
← N 60.238448°
W120.934754°		 ← 151.61 m → N 60.238448°
W120.932007°		 →
↑
151.63 m
↓
↑
151.63 m
↓
N 60.237084°
W120.934754°		 ← 151.62 m →
22 989 m²		 N 60.237084°
W120.932007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164073944091797 y=0.289073944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164073944091797 × 217)
    floor (0.164073944091797 × 131072)
    floor (21505.5)     		tx = 21505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289073944091797 × 217)
    floor (0.289073944091797 × 131072)
    floor (37889.5)     		ty = 37889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21505 / 37889 ti = "17/21505/37889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21505/37889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21505 ÷ 217
    21505 ÷ 131072     		x = 0.164070129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37889 ÷ 217
    37889 ÷ 131072     		y = 0.289070129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164070129394531 × 2 - 1) × π
    -0.671859741210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.11070963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289070129394531 × 2 - 1) × π
    0.421859741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.32531146379569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11070963} λ = -2.11070963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32531146379569))-π/2
    2×atan(3.76335732203385)-π/2
    2×1.31107778874789-π/2
    2.62215557749577-1.57079632675     		φ = 1.05135925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11070963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.934754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05135925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.238448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21505 KachelY 37889 -2.11070963 1.05135925 -120.934754 60.238448
    Oben rechts KachelX + 1 21506 KachelY 37889 -2.11066169 1.05135925 -120.932007 60.238448
    Unten links KachelX 21505 KachelY + 1 37890 -2.11070963 1.05133545 -120.934754 60.237084
    Unten rechts KachelX + 1 21506 KachelY + 1 37890 -2.11066169 1.05133545 -120.932007 60.237084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05135925-1.05133545) × R
    2.37999999999072e-05 × 6371000     		dl = 151.629799999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05135925-1.05133545) × R
    2.37999999999072e-05 × 6371000     		dr = 151.629799999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11070963--2.11066169) × cos(1.05135925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.496391543589146 × 6371000     		do = 151.610754530358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11070963--2.11066169) × cos(1.05133545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.496412204198747 × 6371000     		du = 151.617064812334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05135925)-sin(1.05133545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496391543589146-0.496412204198747)×R²
    abs(-2.11066169--2.11070963)×2.06606096009865e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06606096009865e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06606096009865e-05×40589641000000     		ar = 22989.1868016711m²