Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21505 / 31748
↖ ↑ ↗
← N 67.605035°
W120.934754°		 ← 116.36 m → N 67.605035°
W120.932007°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
N 67.603989°
W120.934754°		 ← 116.37 m →
13 545 m²		 N 67.603989°
W120.932007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164073944091797 y=0.242221832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164073944091797 × 217)
    floor (0.164073944091797 × 131072)
    floor (21505.5)     		tx = 21505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242221832275391 × 217)
    floor (0.242221832275391 × 131072)
    floor (31748.5)     		ty = 31748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21505 / 31748 ti = "17/21505/31748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21505/31748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21505 ÷ 217
    21505 ÷ 131072     		x = 0.164070129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31748 ÷ 217
    31748 ÷ 131072     		y = 0.242218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164070129394531 × 2 - 1) × π
    -0.671859741210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.11070963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242218017578125 × 2 - 1) × π
    0.51556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61969196436246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11070963} λ = -2.11070963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61969196436246))-π/2
    2×atan(5.05153402437568)-π/2
    2×1.3753633918835-π/2
    2.750726783767-1.57079632675     		φ = 1.17993046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11070963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.934754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17993046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.605035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21505 KachelY 31748 -2.11070963 1.17993046 -120.934754 67.605035
    Oben rechts KachelX + 1 21506 KachelY 31748 -2.11066169 1.17993046 -120.932007 67.605035
    Unten links KachelX 21505 KachelY + 1 31749 -2.11070963 1.17991219 -120.934754 67.603989
    Unten rechts KachelX + 1 21506 KachelY + 1 31749 -2.11066169 1.17991219 -120.932007 67.603989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17993046-1.17991219) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17993046-1.17991219) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11070963--2.11066169) × cos(1.17993046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380989120547892 × 6371000     		do = 116.363884075213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11070963--2.11066169) × cos(1.17991219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381006012552148 × 6371000     		du = 116.369043328113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17993046)-sin(1.17991219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380989120547892-0.381006012552148)×R²
    abs(-2.11066169--2.11070963)×1.6892004255753e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6892004255753e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6892004255753e-05×40589641000000     		ar = 13544.8434246563m²