Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21503 / 31749
↖ ↑ ↗
← N 67.603989°
W120.940247°		 ← 116.37 m → N 67.603989°
W120.937500°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
N 67.602942°
W120.940247°		 ← 116.37 m →
13 538 m²		 N 67.602942°
W120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164058685302734 y=0.242229461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164058685302734 × 217)
    floor (0.164058685302734 × 131072)
    floor (21503.5)     		tx = 21503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242229461669922 × 217)
    floor (0.242229461669922 × 131072)
    floor (31749.5)     		ty = 31749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21503 / 31749 ti = "17/21503/31749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21503/31749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21503 ÷ 217
    21503 ÷ 131072     		x = 0.164054870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31749 ÷ 217
    31749 ÷ 131072     		y = 0.242225646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164054870605469 × 2 - 1) × π
    -0.671890258789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.11080550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242225646972656 × 2 - 1) × π
    0.515548706054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.61964402746284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11080550} λ = -2.11080550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61964402746284))-π/2
    2×atan(5.05129187530021)-π/2
    2×1.37535425996245-π/2
    2.75070851992491-1.57079632675     		φ = 1.17991219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11080550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.940247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17991219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.603989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21503 KachelY 31749 -2.11080550 1.17991219 -120.940247 67.603989
    Oben rechts KachelX + 1 21504 KachelY 31749 -2.11075756 1.17991219 -120.937500 67.603989
    Unten links KachelX 21503 KachelY + 1 31750 -2.11080550 1.17989393 -120.940247 67.602942
    Unten rechts KachelX + 1 21504 KachelY + 1 31750 -2.11075756 1.17989393 -120.937500 67.602942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17991219-1.17989393) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17991219-1.17989393) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11080550--2.11075756) × cos(1.17991219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381006012552148 × 6371000     		do = 116.369043328113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11080550--2.11075756) × cos(1.17989393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381022895183571 × 6371000     		du = 116.374199718308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17991219)-sin(1.17989393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381006012552148-0.381022895183571)×R²
    abs(-2.11075756--2.11080550)×1.68826314227433e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68826314227433e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68826314227433e-05×40589641000000     		ar = 13538.0297496776m²