Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21503 / 31745
↖ ↑ ↗
← N 67.608174°
W120.940247°		 ← 116.35 m → N 67.608174°
W120.937500°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
N 67.607128°
W120.940247°		 ← 116.35 m →
13 536 m²		 N 67.607128°
W120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164058685302734 y=0.242198944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164058685302734 × 217)
    floor (0.164058685302734 × 131072)
    floor (21503.5)     		tx = 21503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242198944091797 × 217)
    floor (0.242198944091797 × 131072)
    floor (31745.5)     		ty = 31745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21503 / 31745 ti = "17/21503/31745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21503/31745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21503 ÷ 217
    21503 ÷ 131072     		x = 0.164054870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31745 ÷ 217
    31745 ÷ 131072     		y = 0.242195129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164054870605469 × 2 - 1) × π
    -0.671890258789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.11080550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242195129394531 × 2 - 1) × π
    0.515609741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.61983577506132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11080550} λ = -2.11080550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61983577506132))-π/2
    2×atan(5.05226054125324)-π/2
    2×1.37539078521832-π/2
    2.75078157043664-1.57079632675     		φ = 1.17998524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11080550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.940247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17998524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.608174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21503 KachelY 31745 -2.11080550 1.17998524 -120.940247 67.608174
    Oben rechts KachelX + 1 21504 KachelY 31745 -2.11075756 1.17998524 -120.937500 67.608174
    Unten links KachelX 21503 KachelY + 1 31746 -2.11080550 1.17996698 -120.940247 67.607128
    Unten rechts KachelX + 1 21504 KachelY + 1 31746 -2.11075756 1.17996698 -120.937500 67.607128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17998524-1.17996698) × R
    1.82599999998256e-05 × 6371000     		dl = 116.334459998889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17998524-1.17996698) × R
    1.82599999998256e-05 × 6371000     		dr = 116.334459998889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11080550--2.11075756) × cos(1.17998524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380938471510131 × 6371000     		do = 116.348414555374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11080550--2.11075756) × cos(1.17996698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380955354649741 × 6371000     		du = 116.353571100783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17998524)-sin(1.17996698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380938471510131-0.380955354649741)×R²
    abs(-2.11075756--2.11080550)×1.68831396100133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68831396100133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68831396100133e-05×40589641000000     		ar = 13535.6299213293m²