Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21500 / 11262
↖ ↑ ↗
← N 81.519082°
W120.948486°		 ← 45.04 m → N 81.519082°
W120.945739°		 →
↑
44.98 m
↓
↑
44.98 m
↓
N 81.518677°
W120.948486°		 ← 45.05 m →
2 026 m²		 N 81.518677°
W120.945739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164035797119141 y=0.0859260559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164035797119141 × 217)
    floor (0.164035797119141 × 131072)
    floor (21500.5)     		tx = 21500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0859260559082031 × 217)
    floor (0.0859260559082031 × 131072)
    floor (11262.5)     		ty = 11262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21500 / 11262 ti = "17/21500/11262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21500/11262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21500 ÷ 217
    21500 ÷ 131072     		x = 0.164031982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11262 ÷ 217
    11262 ÷ 131072     		y = 0.0859222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.67193603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11094931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0859222412109375 × 2 - 1) × π
    0.828155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60172728997893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11094931} λ = -2.11094931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60172728997893))-π/2
    2×atan(13.4870139110952)-π/2
    2×1.49678635585263-π/2
    2.99357271170526-1.57079632675     		φ = 1.42277638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11094931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.948486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42277638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.519082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21500 KachelY 11262 -2.11094931 1.42277638 -120.948486 81.519082
    Oben rechts KachelX + 1 21501 KachelY 11262 -2.11090137 1.42277638 -120.945739 81.519082
    Unten links KachelX 21500 KachelY + 1 11263 -2.11094931 1.42276932 -120.948486 81.518677
    Unten rechts KachelX + 1 21501 KachelY + 1 11263 -2.11090137 1.42276932 -120.945739 81.518677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42277638-1.42276932) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dl = 44.9792599996666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42277638-1.42276932) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dr = 44.9792599996666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11094931--2.11090137) × cos(1.42277638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147480021466652 × 6371000     		do = 45.0441946916384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11094931--2.11090137) × cos(1.42276932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147487004262122 × 6371000     		du = 45.0463274171124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42277638)-sin(1.42276932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147480021466652-0.147487004262122)×R²
    abs(-2.11090137--2.11094931)×6.98279547081682e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.98279547081682e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.98279547081682e-06×40589641000000     		ar = 2026.1025086591m²