Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2150 / 2266
↖ ↑ ↗
← S 18.812718°
E  8.964844°		 ← 9 250.89 m → S 18.812718°
E  9.052734°		 →
↑
9 248.59 m
↓
↑
9 248.59 m
↓
S 18.895893°
E  8.964844°		 ← 9 246.31 m →
85 536 510 m²		 S 18.895893°
E  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5250244140625 y=0.5533447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5250244140625 × 212)
    floor (0.5250244140625 × 4096)
    floor (2150.5)     		tx = 2150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5533447265625 × 212)
    floor (0.5533447265625 × 4096)
    floor (2266.5)     		ty = 2266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2150 / 2266 ti = "12/2150/2266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2150/2266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2150 ÷ 212
    2150 ÷ 4096     		x = 0.52490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2266 ÷ 212
    2266 ÷ 4096     		y = 0.55322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.334407811749512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15646604} λ = 0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334407811749512))-π/2
    2×atan(0.715761826617044)-π/2
    2×0.621226229480449-π/2
    1.2424524589609-1.57079632675     		φ = -0.32834387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32834387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.812718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2150 KachelY 2266 0.15646604 -0.32834387 8.964844 -18.812718
    Oben rechts KachelX + 1 2151 KachelY 2266 0.15800002 -0.32834387 9.052734 -18.812718
    Unten links KachelX 2150 KachelY + 1 2267 0.15646604 -0.32979554 8.964844 -18.895893
    Unten rechts KachelX + 1 2151 KachelY + 1 2267 0.15800002 -0.32979554 9.052734 -18.895893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32834387--0.32979554) × R
    0.00145167000000002 × 6371000     		dl = 9248.5895700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32834387--0.32979554) × R
    0.00145167000000002 × 6371000     		dr = 9248.5895700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15646604-0.15800002) × cos(-0.32834387) × R
    0.00153397999999999 × 0.946577703277318 × 6371000     		do = 9250.89119105639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15646604-0.15800002) × cos(-0.32979554) × R
    0.00153397999999999 × 0.946108577591385 × 6371000     		du = 9246.30643202344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32834387)-sin(-0.32979554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946577703277318-0.946108577591385)×R²
    abs(0.15800002-0.15646604)×0.000469125685932825×R²
    0.00153397999999999×0.000469125685932825×6371000²
    0.00153397999999999×0.000469125685932825×40589641000000     		ar = 85536509.5267743m²