Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 21498 / 23547
↖ ↑ ↗
← N 45.108423°
W 61.907959°		 ← 431.12 m → N 45.108423°
W 61.902466°		 →
↑
431.13 m
↓
↑
431.13 m
↓
N 45.104546°
W 61.907959°		 ← 431.15 m →
185 873 m²		 N 45.104546°
W 61.902466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.328041076660156 y=0.359306335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.328041076660156 × 216)
    floor (0.328041076660156 × 65536)
    floor (21498.5)     		tx = 21498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359306335449219 × 216)
    floor (0.359306335449219 × 65536)
    floor (23547.5)     		ty = 23547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 21498 / 23547 ti = "16/21498/23547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/21498/23547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21498 ÷ 216
    21498 ÷ 65536     		x = 0.328033447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23547 ÷ 216
    23547 ÷ 65536     		y = 0.359298706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.328033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.34393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.08049772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359298706054688 × 2 - 1) × π
    0.281402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.884052302793076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.08049772} λ = -1.08049772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.884052302793076))-π/2
    2×atan(2.42068922367916)-π/2
    2×1.17904341720164-π/2
    2.35808683440328-1.57079632675     		φ = 0.78729051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.08049772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.907959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78729051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.108423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21498 KachelY 23547 -1.08049772 0.78729051 -61.907959 45.108423
    Oben rechts KachelX + 1 21499 KachelY 23547 -1.08040184 0.78729051 -61.902466 45.108423
    Unten links KachelX 21498 KachelY + 1 23548 -1.08049772 0.78722284 -61.907959 45.104546
    Unten rechts KachelX + 1 21499 KachelY + 1 23548 -1.08040184 0.78722284 -61.902466 45.104546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78729051-0.78722284) × R
    6.76700000000752e-05 × 6371000     		dl = 431.125570000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78729051-0.78722284) × R
    6.76700000000752e-05 × 6371000     		dr = 431.125570000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.08049772--1.08040184) × cos(0.78729051) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.70576742480443 × 6371000     		do = 431.11907597829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.08049772--1.08040184) × cos(0.78722284) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.705815363567238 × 6371000     		du = 431.148359442501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78729051)-sin(0.78722284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70576742480443-0.705815363567238)×R²
    abs(-1.08040184--1.08049772)×4.79387628080641e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.79387628080641e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.79387628080641e-05×40589641000000     		ar = 185872.769865407m²